Question

Решить неравенство
㏒((x-2))^2 (9^x-3)<=0

(x-2)^2 - основание логарифма.

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

$log_{(x-2)^2}\; (9^{x}-3) \leq 0\; ,\; \; \; ODZ:\; \left \{ {{(x-2)^2\ \textgreater \ 0} \atop {(x-2)^2\ne 1,9^{x}-3>0}} \right. \; \left \{ {{x\ne 2} \atop {x\ne 3\; ,\; x\ne 1,\; x>0,5}} \right.$

Метод рационализации.Запишем неравенство, равносильное заданному:

$\Big ((x-2)^2-1\Big )\cdot \Big ((9^{x}-3)-1\Big ) \leq 0\\\\(x^2-4x+3)\cdot (9^{x}-4) \leq 0\\\\x^2-4x+3=0\; \; \to \; \; x_1=1,\; x_2=3\; ,\; \; +++(1)---(3)+++\\\\ a)\; \; \left \{ {{x^2-4x+3 \geq 0} \atop {9^{x}-4 \leq 0}} \right. \; \left \{ {{x\in (-\infty ,1\, ]\cup[\, 3,+\infty )} \atop {9^{x} \leq 4}} \right. \; \left \{ {{x\in (-\infty ,1\, ]\cup [\, 3,+\infty )} \atop {x\in (-\infty ,log_32\, ]}} \right. \; \; \to \\\\x\in (-\infty ,log_32\, ]$

$\star \; \; 9^{x} \leq 4\; \; \to \; \; x \leq log_94\; ,\; \; log_94= log_{3^2}2^2=log_32<1\; ,\; log_32>0,5$

$b)\; \; \left \{ {{x^2-4x+3 \leq 0} \atop {9^{x}-4 \geq 0}} \right. \; \left \{ {{x\in [\, 1,3\, ]} \atop {x\in [\, log_32,+\infty )}} \right. \; ,\; \; x\in [\, 1,3\, ]\\\\Otvet:\; \; x\in (0,5\, ;\, log_32\, ]\cup (1,2)\cup (2,3)\; .$