Question

Докажите, что:
sina+cosa=√2cos(П:4-a)

Answer 1

Ответ на фото. удачи!

Answer 2

Это формула: введение вспомогательного угла. Выводится следующим образом:
Если есть выражение: asinα+bcosβ, то за скобку выносится выражение: √(a²+b²)

В данном случае: a=1 и b=1, тогда за скобку выносим √(1²+1²)=√2

$sin a+cosa= \sqrt{2} ( \frac{sin a}{ \sqrt{2} } + \frac{cosa}{ \sqrt{2} } )=\sqrt{2}(sina * \frac{1}{\sqrt{2}} +cosa * \frac{1}{\sqrt{2}} )$

Зная, что cos(π/4)=1/√2  и sin(π/4)=1/√2

$\sqrt{2}(sina * \frac{1}{\sqrt{2}} +cosa * \frac{1}{\sqrt{2}} )=\sqrt{2}(sina * sin \frac{ \pi }{4} +cosa * cos \frac{ \pi }{4} )$

Теперь сворачиваем это выражение по формуле косинуса разности:
cosα*cosβ+sinα*sinβ =cos(α-β)

$\sqrt{2}(sina * sin \frac{ \pi }{4} +cosa * cos \frac{ \pi }{4} )= \sqrt{2} (cosa * cos \frac{ \pi }{4}+sina * sin \frac{ \pi }{4})= \\ \\ =\sqrt{2} cos(a- \frac{ \pi }{4} )$

И наконец, так как косинус - четная функция, то выражение в скобках можно домножить на -1, то есть

$\sqrt{2} cos(a- \frac{ \pi }{4} )=\sqrt{2} cos( \frac{ \pi }{4} -a)$


Сокращенное доказательство:

$sin a+cosa= \sqrt{2} ( \frac{sin a}{ \sqrt{2} } + \frac{cosa}{ \sqrt{2} } )=\sqrt{2}(sina * \frac{1}{\sqrt{2}} +cosa * \frac{1}{\sqrt{2}} )= \\ \\ \sqrt{2}(sina * sin \frac{ \pi }{4} +cosa * cos \frac{ \pi }{4} )= \sqrt{2} (cosa * cos \frac{ \pi }{4}+sina * sin \frac{ \pi }{4})= \\ \\ =\sqrt{2} cos(a- \frac{ \pi }{4} )=\sqrt{2} cos( \frac{ \pi }{4} -a)$