Question

В калориметре находилось 400 г льда при температуре −14∘С. В него впустили 15 г водяного пара при температуре 100∘С. Через некоторое время в калориметре установилось тепловое равновесие. Сколько воды образовалось в калориметре? Теплоёмкостью калориметра и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Удельная теплоёмкость воды: c=4200 Дж/(кг⋅∘C)
Удельная теплоёмкость льда: c=2100 Дж/(кг⋅∘C)
Удельная теплота плавления льда: λ=330 кДж/кг
Удельная теплота парообразования воды: L=2300 кДж/кг

Answer 1

Предположим, что весь пар и весь лёд – превратятся в состоянии термодинамического равновесия в воду. Таким образом, ответ к задаче уже был бы готов, Mвод=M+m, где M = 0.4 кг и m = 0.015 кг – масса исходного льда и исходного пара соответственно. Осталось лишь выяснить, верно ли сделанное вначале предположение.

Если у нас получится, что конечная температура вещества, ожидаемого как жидка вода, окажется выше tк = 100°С (температура кипения и конденсации), то, стало быть, наше предположение неверно, и нужно полагать, что не весь пар сконденсируется.

А если у нас получится, что конечная температура вещества, ожидаемого как жидка вода, окажется ниже to = 0°С, то, стало быть, наше предположение неверно, и нужно полагать, что не весь лёд расплавится.

С учётом сделанного предположения, запишем уравнение теплового баланса:

Qк + Qо = Qн + Qп + Qл , где:

Qк – отдаваемая при конденсации пара теплота,

Qо – теплота, отдаваемая при охлаждении воды, полученной из пара,

Qн – теплота, получаемая при нагревании воды, полученной из льда,

Qп – поглощаемая при плавлении льда теплота.

Qл – теплота, получаемая при нагревании льда,

Qк = Lm , где L = 2.3 МДж/кг – теплота конденсации пара,

Qо = cm(tк–t) , где с = 4.2 кДж/кг°С – теплоёмкость воды, а t – конечная температура,

Qн = cM(t–to) = cMt ,

Qп = λM , где λ = 330 кДж/кг – теплота плавления льда,

Qл = [c/2] M(to–tн) = [c/2] M(0+|tн|) = cM|tн|/2 , где tн = –14°С – температура исходного льда,

Qк + Qо = Qн + Qп + Qл ,

Lm + cmtк – cmt = cMt + λM + cM|tн|/2 ,

cMt + cmt = Lm – λM + cmtк – cM|tн|/2 ,

t(M+m) = (Lm–λM)/с + mtк – M|tн|/2 ,

t = ( (Lm–λM)/с + mtк – M|tн|/2 ) / (M+m) ,

вычислим:
t ≈ ( ( 2 300 000 * 0.015 – 330 000 * 0.4 ) / 4200 + 0.015*100 – 0.4*7 ) / 0.415 =
= ( ( 345 – 1320 ) / 42 – 1.3 ) / 0.415 < 0°C ;

Вычисленная конечная температура t<0°C, а значит, предпосылка о том, что весь лёд перейдёт в воду – неверна.




Пойдём другим путём. Предположим, что весь пар – превратится в состоянии термодинамического равновесия в воду, которая остынет до 0°C. А лёд нагреется до 0°C, но превратится в воду лишь частично. Будем считать, что в воду превратиться масса ∆M льда. Тогда, получаемое значение для ∆M должно подчиняться неравенству 0 < ∆M < M , т.е. масса льда, превращающегося в воду должна быть больше нуля и меньше массы всего льда. Итак:

Qк + Qо = Qп + Qл , где:

Qк = Lm ,

Qо = cm(tк–to) = cmtк,

Qп = λ∆M ,

Qл = [c/2] M(to–tн) = –cMtн/2 ,

Lm + cmtк = λ∆M – cMtн/2 ,

Lm + cmtк + cMtн/2 = λ∆M ,

∆M = ( Lm + c(mtк + Mtн/2) ) / λ ,

вычислим: ∆M = ( Lm + c(mtк + Mtн/2) ) / λ ≈
≈ ( 2 300 000 * 0.015 + 4200 ( 0.015*100 – 0.4*7 ) ) / 330 000 ≈ 0.088 кг ≈ 88 г ;


Значение массы льда, превращающейся в воду, получаемой из таких предположений – больше нуля и меньше массы всего льда, а значит, предположение оправданно. Весь пар, как мы указали выше, тоже превратится в воду. Стало быть, полная масса воды, получающаяся в заданных условиях, сложится из массы пара m и массы части льда, превращающегося в воду:

Mвод = ∆M + m ≈ ( Lm + c(mtк + Mtн/2) ) / λ + m ≈ 88 г + 15 г ≈ 103 г .

ОТВЕТ: 103 г.