Слово спутанные , так как образованно от глагола спутать . Пишется НН потому что сов.в
Нездоровиться<span> - глагол</span>
<span>Начальная форма - Нездоровиться, безличный глагол, несовершенный вид, прошедшее время
</span>Кататься<span> - глагол</span>
<span>Начальная форма - Кататься, действительный залог, переходный, несовершенный вид.
</span>
Ответ:
В те времена, чтобы продвинуться по службе, члены фамусовского общества ездили к Татьяне Юрьевне за покровительством.