Воспользуемся сначала классическим (нерелятивистским) энергетическим расчётом.
Начальная кинетическая энергия
двух протонов с приданной им скоростью:
![E_o = \frac{ m_p v^2 }{2} + \frac{ m_p v^2 }{2} = m_p v^2 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+E_o+%3D+%5Cfrac%7B+m_p+v%5E2+%7D%7B2%7D+%2B+%5Cfrac%7B+m_p+v%5E2+%7D%7B2%7D+%3D+m_p+v%5E2+%5C+%3B+)
Начальная потенциальная энергия двух протонов
взаимодействующих электрически:
![U_o = k \frac{ e^2 }{R} \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+U_o+%3D+k+%5Cfrac%7B+e%5E2+%7D%7BR%7D+%5C+%2C+)
где
![R \](https://tex.z-dn.net/?f=+R+%5C+)
– начальное расстояние.
Конечная кинетическая энергия двух протонов
в предверии появления ядерных сил:
![E = = m_p v_{ocm}^2 \](https://tex.z-dn.net/?f=+E+%3D+%3D+m_p+v_%7Bocm%7D%5E2+%5C+)
где
![v_{ocm} \](https://tex.z-dn.net/?f=+v_%7Bocm%7D+%5C+)
– остаточная скорость.
Конечная потенциальная энергия двух протонов
взаимодействующих электрически:
![U = k \frac{ e^2 }{r} \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+U+%3D+k+%5Cfrac%7B+e%5E2+%7D%7Br%7D+%5C+%2C+)
где
![r \approx 10^{-15} \](https://tex.z-dn.net/?f=+r+%5Capprox+10%5E%7B-15%7D+%5C+)
м – конечное расстояние
перед началом действия ядерных сил.
По закону сохранения энергии
полная начальная энергия равна полной конечной:
![E_o + U_o = E + U \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+E_o+%2B+U_o+%3D+E+%2B+U+%5C+%3B+)
![m_p v^2 + k \frac{ e^2 }{R} = m_p v_{ocm}^2 + k \frac{ e^2 }{r} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+m_p+v%5E2+%2B+k+%5Cfrac%7B+e%5E2+%7D%7BR%7D+%3D+m_p+v_%7Bocm%7D%5E2+%2B+k+%5Cfrac%7B+e%5E2+%7D%7Br%7D+%5C+%3B+)
![m_p v^2 - m_p v_{ocm}^2 = k \frac{ e^2 }{r} - k \frac{ e^2 }{R} \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+m_p+v%5E2+-+m_p+v_%7Bocm%7D%5E2+%3D+k+%5Cfrac%7B+e%5E2+%7D%7Br%7D+-+k+%5Cfrac%7B+e%5E2+%7D%7BR%7D+%5C+%3B+)
![m_p ( v^2 - v_{ocm}^2 ) = k e^2 ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+m_p+%28+v%5E2+-+v_%7Bocm%7D%5E2+%29+%3D+k+e%5E2+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D+%29+%5C+%3B+)
![v^2 - v_{ocm}^2 = \frac{ k e^2 }{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+v%5E2+-+v_%7Bocm%7D%5E2+%3D+%5Cfrac%7B+k+e%5E2+%7D%7B+m_p+%7D+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D+%29+%5C+%3B+)
![v^2 = v_{ocm}^2 + \frac{ k e^2 }{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) > \frac{ k e^2 }{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+v%5E2+%3D+v_%7Bocm%7D%5E2+%2B+%5Cfrac%7B+k+e%5E2+%7D%7B+m_p+%7D+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D+%29+%3E+%5Cfrac%7B+k+e%5E2+%7D%7B+m_p+%7D+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D+%29+%5C+%3B+)
![v_{min}^2 = \frac{ k e^2 }{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+v_%7Bmin%7D%5E2+%3D+%5Cfrac%7B+k+e%5E2+%7D%7B+m_p+%7D+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D+%29+%5C+%3B+)
положим, что
![R \sim 1 \](https://tex.z-dn.net/?f=+R+%5Csim+1+%5C+)
метр.
![v_{min} = e \sqrt{ \frac{k}{ m_p } ( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} ) } \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+v_%7Bmin%7D+%3D+e+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7Bk%7D%7B+m_p+%7D+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7BR%7D+%29+%7D+%5C+%3B+)
![1.6 \cdot 10^{-19} \cdot \sqrt{ \frac{ 9 \cdot 10^9 }{ 1.67 \cdot 10^{-27} } ( \frac{1}{ 10^{-15} } - \frac{1}{1} ) } \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot \sqrt{ \frac{ 3^2 \cdot 10^{36} }{ 1.67 } ( 10^{15} - 1 ) } \approx](https://tex.z-dn.net/?f=+1.6+%5Ccdot+10%5E%7B-19%7D+%5Ccdot+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B+9+%5Ccdot+10%5E9+%7D%7B+1.67+%5Ccdot+10%5E%7B-27%7D+%7D+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B+10%5E%7B-15%7D+%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D+%29+%7D+%5Capprox+1.6+%5Ccdot+10%5E%7B-19%7D+%5Ccdot+%5Csqrt%7B+%5Cfrac%7B+3%5E2+%5Ccdot+10%5E%7B36%7D+%7D%7B+1.67+%7D+%28+10%5E%7B15%7D+-+1+%29+%7D+%5Capprox+)
![\approx 1.6 \cdot 10^{-19} \cdot 3 \cdot 10^{18} \cdot \sqrt{ 6 \cdot 10^{14} } \approx 0.48 \cdot 2.45 \cdot 10^7 \approx 0.48 \cdot 2.45 \cdot 10^7 \approx 1.18 \cdot 10^7 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Capprox+1.6+%5Ccdot+10%5E%7B-19%7D+%5Ccdot+3+%5Ccdot+10%5E%7B18%7D+%5Ccdot+%5Csqrt%7B+6+%5Ccdot+10%5E%7B14%7D+%7D+%5Capprox+0.48+%5Ccdot+2.45+%5Ccdot+10%5E7+%5Capprox+0.48+%5Ccdot+2.45+%5Ccdot+10%5E7+%5Capprox+1.18+%5Ccdot+10%5E7+%5C+%3B+)
![v_{min} \approx 1.18 \cdot 10^7 \](https://tex.z-dn.net/?f=+v_%7Bmin%7D+%5Capprox+1.18+%5Ccdot+10%5E7+%5C+)
м/с
![\approx 11 \ 800 \](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Capprox+11+%5C+800+%5C+)
км/с.
Полученная скорость в 30 раз меньше скорости света, а это означает, что отношение классического расчёта энергии к релятивистскому составляет:
![( \frac{1}{ \sqrt{ 1 - ( \frac{1}{30} )^2 } } - 1 ) / \frac{1}{2}( \frac{1}{30} )^2 } \approx 1.000834 \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B+1+-+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B30%7D+%29%5E2+%7D+%7D+-+1+%29+%2F+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%28+%5Cfrac%7B1%7D%7B30%7D+%29%5E2+%7D+%5Capprox+1.000834+%5C+%2C+)
т.е. даёт относительную ошибку около 0.000834, или около 0.0834%, так что нет никакой неободимости производить корректировку расчётов, поскольку сокрости протонов для заданных условий малы, т.е. они - дорелятивистские.
Ответ:
![v_{min} \approx 11 \ 800 \](https://tex.z-dn.net/?f=+v_%7Bmin%7D+%5Capprox+11+%5C+800+%5C+)
км/с.