Случайная величина X распределена по биномиальному закону.
Всего n = 7 испытаний. Вероятность успеха в одном испытании равна p = 0.4, тогда q = 1 - р = 0.6
1) Вероятность того, что стрелок попадет в цель ни разу
![P(X=0)=q^7=0.6^7](https://tex.z-dn.net/?f=P%28X%3D0%29%3Dq%5E7%3D0.6%5E7)
2) Вероятность того, что стрелок попадет в цель один раз
![P(X=1)=C^1_7pq^6=7\cdot 0.4\cdot 0.6^6](https://tex.z-dn.net/?f=P%28X%3D1%29%3DC%5E1_7pq%5E6%3D7%5Ccdot%200.4%5Ccdot%200.6%5E6)
3) Вероятность того, что стрелок попадет в цель два раза
![P(X=2)=C^2_7p^2q^5=\dfrac{7!}{2!5!}\cdot 0.4^2\cdot 0.6^5=21\cdot 0.4^2\cdot 0.6^5](https://tex.z-dn.net/?f=P%28X%3D2%29%3DC%5E2_7p%5E2q%5E5%3D%5Cdfrac%7B7%21%7D%7B2%215%21%7D%5Ccdot%200.4%5E2%5Ccdot%200.6%5E5%3D21%5Ccdot%200.4%5E2%5Ccdot%200.6%5E5)
4) Вероятность того, что стрелок попадет в цель три раза
![P(X=3)=C^3_7p^3q^4=\dfrac{7!}{3!4!}\cdot 0.4^3\cdot 0.6^4=35\cdot 0.4^3\cdot 0.6^4](https://tex.z-dn.net/?f=P%28X%3D3%29%3DC%5E3_7p%5E3q%5E4%3D%5Cdfrac%7B7%21%7D%7B3%214%21%7D%5Ccdot%200.4%5E3%5Ccdot%200.6%5E4%3D35%5Ccdot%200.4%5E3%5Ccdot%200.6%5E4)
5) Вероятность того, что стрелок попадет в цель четыре раза
![P(X=4)=C^4_7p^4q^3=\dfrac{7!}{4!3!}p^4q^3=35\cdot 0.4^4\cdot 0.6^3](https://tex.z-dn.net/?f=P%28X%3D4%29%3DC%5E4_7p%5E4q%5E3%3D%5Cdfrac%7B7%21%7D%7B4%213%21%7Dp%5E4q%5E3%3D35%5Ccdot%200.4%5E4%5Ccdot%200.6%5E3)
6) Вероятность того, что стрелок попадет в цель пять раз
![P(X=5)=C^5_7p^5q^2=\dfrac{7!}{5!2!}\cdot 0.4^5\cdot 0.6^2=21\cdot 0.4^5\cdot 0.6^2](https://tex.z-dn.net/?f=P%28X%3D5%29%3DC%5E5_7p%5E5q%5E2%3D%5Cdfrac%7B7%21%7D%7B5%212%21%7D%5Ccdot%200.4%5E5%5Ccdot%200.6%5E2%3D21%5Ccdot%200.4%5E5%5Ccdot%200.6%5E2)
7) Вероятность того, что стрелок попадет в цель шесть раз
![P(X=6)=C^6_7p^6q=7\cdot 0.4^6\cdot 0.6](https://tex.z-dn.net/?f=P%28X%3D6%29%3DC%5E6_7p%5E6q%3D7%5Ccdot%200.4%5E6%5Ccdot%200.6)
8) Вероятность того, что стрелок попадет в цель 7 раз
![P(X=7)=p^7=0.4^7](https://tex.z-dn.net/?f=P%28X%3D7%29%3Dp%5E7%3D0.4%5E7)
Закон распределения случайной величины X:
![\boxed{X_i}~~\boxed{0}~~~~~~~~~\boxed{1}~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{4}\\ \boxed{P_i}~~\boxed{0.6^7}~\boxed{7\cdot 0.4\cdot 0.6^6}~\boxed{21\cdot 0.4^2\cdot 0.6^5}~\boxed{35\cdot 0.4^3\cdot 0.6^4}~\boxed{35\cdot 0.4^4\cdot 0.6^3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed%7BX_i%7D~~%5Cboxed%7B0%7D~~~~~~~~~%5Cboxed%7B1%7D~~~~~~~~~~~~~~~%5Cboxed%7B2%7D~~~~~~~~~~~~~~~~~~~%5Cboxed%7B3%7D~~~~~~~~~~~~~~~~~%5Cboxed%7B4%7D%5C%5C%20%5Cboxed%7BP_i%7D~~%5Cboxed%7B0.6%5E7%7D~%5Cboxed%7B7%5Ccdot%200.4%5Ccdot%200.6%5E6%7D~%5Cboxed%7B21%5Ccdot%200.4%5E2%5Ccdot%200.6%5E5%7D~%5Cboxed%7B35%5Ccdot%200.4%5E3%5Ccdot%200.6%5E4%7D~%5Cboxed%7B35%5Ccdot%200.4%5E4%5Ccdot%200.6%5E3%7D)
![~~~~~~~~\boxed{5}~~~~~~~~~~~~~~~~~\boxed{6}~~~~~~~~~~\boxed{7}\\ \boxed{21\cdot 0.4^5\cdot 0.6^2}~~\boxed{7\cdot 0.4^6\cdot 0.6}~~\boxed{0.4^7}](https://tex.z-dn.net/?f=~~~~~~~~%5Cboxed%7B5%7D~~~~~~~~~~~~~~~~~%5Cboxed%7B6%7D~~~~~~~~~~%5Cboxed%7B7%7D%5C%5C%20%5Cboxed%7B21%5Ccdot%200.4%5E5%5Ccdot%200.6%5E2%7D~~%5Cboxed%7B7%5Ccdot%200.4%5E6%5Ccdot%200.6%7D~~%5Cboxed%7B0.4%5E7%7D)