Ответ:
Существует
Пошаговое объяснение:
На самом деле такое число найдётся для любой натуральной степени .
Я утверждаю, что для всех k найдётся число, состоящее из k цифр, не содержащее нулей в десятичной записи и делящееся на .
Доказываем по индукции.
<em>База индукции</em>. Для k = 1 подходит .
<em>Индукционный переход</em>. Пусть длина числа равна k, десятичная запись этого числа не содержит нулей. Припишем к этому числу слева ненулевую цифру a и потребуем, чтобы получившееся число делилось на .
Получившееся число равно , оно будет делиться на , если делится на 5.
при делении на 5 может давать остатки 1, 2, 3 и 4; n может давать любые остатки от 0 до 4. Ниже в таблице я явно выписываю, какие можно взять a для каждой комбинации остатков. Например, если n даёт остаток 3 при делении на 5; даёт остаток 4 при делении на 2, то можно взять a = 3: тогда даёт такой же остаток при делении на 5, что и .
Таким образом, если для k такое число найдётся, то и для k + 1, а значит, и для всех k, в том числе и для k = 1987.
Вот, например, числа, построенные для k от 1 до 20:
- 5
- 25
- 125
- 3125
- 53125
- 453125
- 4453125
- 14453125
- 314453125
- 2314453125
- 22314453125
- 122314453125
- 4122314453125
- 44122314453125
- 444122314453125
- 4444122314453125
- 54444122314453125
- 254444122314453125
- 1254444122314453125
- 21254444122314453125
Например, число 21254444122314453125 делится на и не содержит нулей :)