Question

Математика вычислить, какие пары плоскостей являются параллельными, а какие - перпендикулярными.

Answer 1

Для плоскости, заданной уравнением
$Ax+By+Cz+D=0$
вектор с координатами
$\vec n = (A;B;C)$
является вектором нормали (перпендикулярен к плоскости)

Таким образом, если для двух плоскостей нормальные вектора коллинеарны - то плоскости - параллельны, а если перпендикулярны - то перпендикулярны и плоскости.

Проверим для наших примеров.

a)
$(3;4;-1) = \frac{1}{2}*(6;8;-2)$
Вектора коллинеарны -> плоскости - параллельны

b)
$(3;-6;3) = -3*(-1;2;-1)$
Вектора коллинеарны -> плоскости - параллельны
Более того, для параметра D также верно
$-12 = -3*4$
т.е. плоскости не просто параллельны, но и совпадают

c)
$(1;2;-5) = \frac{1}{2}*(2;4;-10)\ne\frac{1}{2}*(2;4;2)$
Вектора не коллинеарны -> плоскости - не параллельны.
Проверим ортогональность векторов
$(1;2;-5)*(2;4;2)=1*2+2*4-5*2=2+8-10=0$
Скалярное произведение векторов равно 0 -> вектора перпендикулярны -> плоскости перпендикулярны