![\cos(10^n)^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccos%2810%5En%29%5E%5Ccirc)
Необходимо воспользоваться тем фактом, что основной период косинуса равен 360°.
Рассмотрим выражение
:
![(10^n)^\circ=100...0000^\circ=99...9000^\circ+1000^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=%2810%5En%29%5E%5Ccirc%3D100...0000%5E%5Ccirc%3D99...9000%5E%5Ccirc%2B1000%5E%5Ccirc)
Заметим, что первое слагаемое можно представить как произведение некоторого числа k на 360°:
![99...9000^\circ+1000^\circ=277...75\cdot360^\circ+1000^\circ=k\cdot 360^\circ+1000^\circ](https://tex.z-dn.net/?f=99...9000%5E%5Ccirc%2B1000%5E%5Ccirc%3D277...75%5Ccdot360%5E%5Ccirc%2B1000%5E%5Ccirc%3Dk%5Ccdot%20360%5E%5Ccirc%2B1000%5E%5Ccirc)
Рассмотрим косинус данного аргумента, учитывая периодичность:
![\cos(10^n)^\circ=\cos(k\cdot 360^\circ+1000^\circ)=\cos1000^\circ= \\\ =\cos(3\cdot360^\circ-80^\circ)=\cos(-80^\circ)=\cos80^\circ>0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccos%2810%5En%29%5E%5Ccirc%3D%5Ccos%28k%5Ccdot%20360%5E%5Ccirc%2B1000%5E%5Ccirc%29%3D%5Ccos1000%5E%5Ccirc%3D%20%5C%5C%5C%20%3D%5Ccos%283%5Ccdot360%5E%5Ccirc-80%5E%5Ccirc%29%3D%5Ccos%28-80%5E%5Ccirc%29%3D%5Ccos80%5E%5Ccirc%3E0)
Выражение свелось к косинусу угла первой четверти, который является положительным.
Однако, нужно учесть, что в решении мы предположили, что значение выражения
является хотя бы четырехзначным (на шаге представления
). Значит, начальные значения косинуса необходимо просчитать дополнительно:
- косинус угла первой четверти положителен
- косинус угла первой четверти положителен
- косинус угла второй четверти отрицателен
- значение подходит под рассмотренный алгоритм (в данном случае слагаемое
содержит нулевое число девяток). Это и последующие значения последовательности положительны
Таким образом, отрицательное число получается только при n=2
Ответ: 1