Для функции нескольких переменных точка экстремума находится следующим образом
1) нахождение частных производных
2) приравнивание их к нулю
3) нахождение стационарной точки
4) определение ее характера через гессиан
![\left \{ {{G'_x=2x+y-2=0} \atop {G'_y=x+2y-4=0}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BG%27_x%3D2x%2By-2%3D0%7D+%5Catop+%7BG%27_y%3Dx%2B2y-4%3D0%7D%7D+%5Cright.+)
![\left \{ {{2x+y=2} \atop {2x+4y=8}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2x%2By%3D2%7D+%5Catop+%7B2x%2B4y%3D8%7D%7D+%5Cright.+)
![\left \{ {{2x+y=2} \atop {3y=6}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2x%2By%3D2%7D+%5Catop+%7B3y%3D6%7D%7D+%5Cright.+)
![\left \{ {{2x+y=2} \atop {y=2}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2x%2By%3D2%7D+%5Catop+%7By%3D2%7D%7D+%5Cright.+)
![\left \{ {{2x+2=2} \atop {y=2}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2x%2B2%3D2%7D+%5Catop+%7By%3D2%7D%7D+%5Cright.+)
![\left \{ {{x=0} \atop {y=2}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Bx%3D0%7D+%5Catop+%7By%3D2%7D%7D+%5Cright.+)
Точка (0,2) является стационарной, далее определим ее характер
![G_{xx}''=2; G_{xy}''=G_{yx}''=1; G_{yy}''=2](https://tex.z-dn.net/?f=G_%7Bxx%7D%27%27%3D2%3B+G_%7Bxy%7D%27%27%3DG_%7Byx%7D%27%27%3D1%3B+G_%7Byy%7D%27%27%3D2)
![H= \left[\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=H%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D2%261%5C%5C1%262%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D+)
Матрица вторых производных, или гессиан, состоит только из констант. Это значит, что функция имеет лишь глобальный экстремум.
Проверим гессиан на знакоопределенность.
Если <span>гессиан положительно определён, то есть все главные миноры положительны, то найденная нами точка является точкой глобального минимума.
</span>Если гессиан отрицательно определён, то есть знаки всех главных миноров чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен, то найденная нами точка является точкой глобального максимума.
![H_1=2](https://tex.z-dn.net/?f=H_1%3D2)
- 1 минор положительный.
![H_2=\left|\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right|=2*2-1*1=3](https://tex.z-dn.net/?f=H_2%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D2%261%5C%5C1%262%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3D2%2A2-1%2A1%3D3)
- 2 минор положительный.
Оба миноры положительны, значит найденная точка - это точка глобального минимума.
Ответ: точка (0,2) является точкой глобального минимума