Question

Четырех школьников, которые бегают с разной скоростью, разбили на две команды по два человека, и в первую включили самого быстрого из них. Вначале команды соревновались в том, бегуны какой команды раньше встретятся, если на дистанции в 400м они побегут навстречу друг другу. Оказалось, что командам потребовалось одинаковое время.
А какая команда быстрее пробежит эстафету 2 × 400 м? (В эстафете каждый спортсмен пробегает 400 метров. Считается, что скорость бегунов во время забегов постоянна.)

Answer 1

Скорость самого быстрого - n1
Скорость его партнера по команде - n2
Скорость члена второй команды - n3
Скорость его партнера по команде - n4
Рассмотрим ситуацию, когда ребята из первой команды бегут друг другу навстречу: скорость сближения ребят(1 ком.) = n1 + n2; (2 ком.) = n3 + n4
Раз дистанция одинаковая, то из условия n1 + n2 = n3 + n4
Теперь 2x400:
Время, которой затратит n1 = 400/n1
Второй затратит 400/n2
Третий 400/n3
И, наконец, четвертый 400/n4
Сложим скорости партнеров по команде: (400(n1+n2))/(n1*n2) и (400(n3+n4))/(n1*n2); Сумма n1 + n2 и n3 + n4 одинакова, поэтому смотрим на n1*n2 и n3*n4; Очевидно, что победит тот, у кого время окажется меньше, а значит победит тот, у кого произведение скоростей больше.
Так как скорости у всех разные, и в первой команде есть самый быстрый, то очевидно, что значение n3 или n4 находится между значениями n1 и n2. Теперь представим n1*n2 и n3*n4 как прямоугольники и наложим их друг на друга(нарисуй на листе). В итоге получается один прямоугольник(общий) со сторонами a<n1 и b>n2, но остались и маленькие узкие прямоугольники; Для простоты возьмем n1 = 9; n2 = 7, тогда пусть a = 8,5; b = 7,5; Теперь найдем площадь всей фигуры: 7*8,5 + 0,5*8,5 +0,5*7,5 = 8,5(7 + 0,5) + 0,5*7,5 = 8,5*7,5 + 0,5*7,5 = 7,5(8,5 + 0,5) = 7,5*9; Теперь вычтем 9*7, очевидно, что 7,5*9>9*7⇒n3*n4>n1*n2⇒вторая команда быстрее пробежит эстафету 2x400 м.