Question

Найдите наклонные асимптоты графика функции:

Answer 1

$y= \frac{5x^2+x-1}{x-4}$
Вертикальная асимптота: х = 4 - точка разрыва
$\lim_{x \to 4-0} \frac{5x^2+x-1}{x-4}=\lim_{x \to 4-0} \frac{5(4-0)^2+(4-0)-1}{(4-0)-4}=\lim_{x \to 4-0} \frac{83}{-0}=-\infty \\ \lim_{x \to 4+0} \frac{5x^2+x-1}{x-4}=\lim_{x \to 4+0} \frac{5(4+0)^2+(4+0)-1}{(4+0)-4}=\lim_{x \to 4+0} \frac{83}{+0}=+\infty$
=> x = 4 - вертикальная асимптота
Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$
$k=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5x^2+x-1}{x(x-4)}=\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5x^2+x-1}{x^2-4x}=\\ =\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5x^2}{x^2}=5$
$b=\lim_{x \to \pm \infty} (f(x)-kx)=\lim_{x \to \pm \infty} [\frac{5x^2+x-1}{x-4}-5x]=\\ =\lim_{x \to \pm \infty} \frac{5x^2+x-1-5x^2+20x}{x-4} =\lim_{x \to \pm \infty} \frac{21x-1}{x-4} =\lim_{x \to \pm \infty} \frac{21x}{x} =21$
=> $y=5x+21$ - наклонная асимптота.