Question

(38)Определенный интеграл. Интегрирование иррациональной функции\ Решить как можно подробнее

Answer 1

$\mathfrak{I} = \int \dfrac{dx}{ \sqrt[3]{x}+1 }\\ 3AMEHA:\ \sqrt[3]{x}=t\ =\ \textgreater \ x=t^3,\ dx=3t^2dt\ =\ \textgreater \ \\ \mathfrak{I} = \int \dfrac{3t^2dt}{t+1 }=3\int \dfrac{t^2dt}{t+1 }=3\int \dfrac{(t^2-1)dt}{t+1 }+3\int \dfrac{dt}{t+1 }=\\ =3\int(t-1)dt+3ln|t+1| = \frac{3}{2}(t-1)^2+ 3ln|t+1| +C \\ \\ \mathfrak{I} = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{x}-1)^2+ 3ln|\sqrt[3]{x}+1| +C \\ \\ \int \limits_{1}^{64} \dfrac{dx}{ \sqrt[3]{x}+1 }= ( \frac{3}{2}(\sqrt[3]{x}-1)^2+ 3ln|\sqrt[3]{x}+1| ) \Bigr|_{1}^{64}=$

$=( \frac{3}{2}(\sqrt[3]{64}-1)^2+ 3ln|\sqrt[3]{64}+1| )-( \frac{3}{2}(\sqrt[3]{1}-1)^2+ 3ln|\sqrt[3]{1}+1| )=\\\\= \frac{3}{2}*9+ 3ln5-3ln2=13,5-3ln2,5$