Question

Найти остаток при делении

Answer 1

Тут нужно поймать закономерность и рассмотреть последовательность остатков степеней двойки при делении на 5

Степени: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 1, 2...

Итак, видим последовательность из 4 остатков, циклящуюся снова и снова. Это достаточно очевидно, ведь степени двойки кончаются на 2, 4, 8, 6 и по кругу, а 2, 4, 3, 1 - это те же числа по модулю 5.

2¹ имеет остаток 2
Значит и 2^2009 имеет остаток 2, 2^2010 остаток 4 а 2^2011 остаток 3

Ответ 3

Answer 2

$a \ \equiv \ b \ (\mod \ d \ ) \ \Rightarrow \ a^k \ \equiv \ b^k \ (\mod \ d \ ), \ k \in \mathbb{N};\\\\ \ 2^{4} \ \equiv \ 1 \ (\mod \ 5 \ ); \ \{ \ 16 = 3*5 + 1 \ \};$

$a \ \equiv \ b \ (\mod \ e \ ), \ c \ \equiv \ d \ (\mod \ e \ )\ \Rightarrow \ ac \ \equiv \ bd \ (\mod \ e \ );\\\\ \{ \ 2011 = 2008 + 3 = 502*4 + 3, \ 2^{3} = 8 = 5 + 3\ \};\\\\ \ 2^{2008} \ \equiv \ 1 \ (\mod \ 5\ ), \ 2^{3} \ \equiv \ 3 \ (\mod \ 5\ ) \ \Longrightarrow\\\\ \ \Rightarrow 2^{2011} \ \equiv \ 3 \ (\mod \ 5\ );\\\\ \boxed{\mathbb{OTBET:} \ 3 }$