Question

Помогите решить универсальной подстановкой sin4x+5cos4x=-5

Answer 1

Формулы универсальной тригонометрической подстановки:

$sinx=\dfrac{2tg\dfrac{x}{2}}{1+tg^2\dfrac{x}{2}} \ \ \ \ \ cosx=\dfrac{1-tg^2\dfrac{x}{2}}{1+tg^2\dfrac{x}{2}}$

Решаем

$sin4x+5cos4x=-5\\ \\ \dfrac{2tg2x}{1+tg^22x}+ \dfrac{5-5tg^22x}{1+tg^22x}=-5\\ \\ 2tg2x+5-5tg^22x=-5(1+tg^22x)\\ 2tg2x=-10\\ tg2x=-5\\ 2x=arctg(-5)+\pi k\\ x=-\dfrac{arctg(5)}{2}+\dfrac{\pi k}{2}$

Также, при универсальной тригонометрической подстановке необходимо проверять, не является ли x=π+2πk решением

$4x=\pi + 2 \pi k \ \Rightarrow \ x=\dfrac{\pi}{4}+ \dfrac{\pi k}{2} \\ sin(4\cdot\dfrac{\pi}{4})+5cos(4\cdot\dfrac{\pi}{4})= 0-5=-5$

Ответ: $x=\left[\begin{array}{I} -\dfrac{arctg(5)}{2}+\dfrac{\pi k}{2} \\ \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2} \end{array}} ; \ k \in Z$