Среднеарифметическое двух чисел всегда меньше большого числа на столько же, насколько оно больше меньшего числа. Ну например для чисел
![17](https://tex.z-dn.net/?f=+17+)
и
![25](https://tex.z-dn.net/?f=+25+)
– среднеарифметическое равно
![21 = \frac{ 17 + 25 }{2} \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+21+%3D+%5Cfrac%7B+17+%2B+25+%7D%7B2%7D+%5C+%2C+)
и при этом
![21](https://tex.z-dn.net/?f=+21+)
на
![4](https://tex.z-dn.net/?f=+4+)
меньше двадцати пяти и на
![4](https://tex.z-dn.net/?f=+4+)
больше семнадцати.
Когда Вася отдаёт Пете
![6](https://tex.z-dn.net/?f=+6+)
монет и у них становится поровну, то они как раз и приходят к среднеарифметическому их начальных количеств монет. В итоге у Васи оказывается на
![6](https://tex.z-dn.net/?f=+6+)
монет меньше изначального, а у Пети на
![6](https://tex.z-dn.net/?f=+6+)
монет больше изначального. А значит, вначале у Васи было на
![12 = 6 + 6](https://tex.z-dn.net/?f=+12+%3D+6+%2B+6+)
монет больше, чем у Пети.
Путь у Васи вначале
![x](https://tex.z-dn.net/?f=+x+)
монет. Тогда у Пети
![x - 12](https://tex.z-dn.net/?f=+x+-+12+)
монет.
В первом случае всё как раз получается правильно:
![x - 6 = ( x - 12 ) + 6 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+x+-+6+%3D+%28+x+-+12+%29+%2B+6+%5C+%3B+)
Во втором случае у Васи-II оказывается
![x + 9](https://tex.z-dn.net/?f=+x+%2B+9+)
монет, а у Пети-II будет
![x - 12 - 9](https://tex.z-dn.net/?f=+x+-+12+-+9+)
монет. При этом у Пети-II монет в
![K](https://tex.z-dn.net/?f=+K+)
раз меньше, т.е. если мы количество монет Пети-II мысленно увеличим в
![K](https://tex.z-dn.net/?f=+K+)
раз, то их станет столько же, сколько и у Васи-II. На этом основании составим уравнение:
![x + 9 = ( x - 12 - 9 ) K \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+x+%2B+9+%3D+%28+x+-+12+-+9+%29+K+%5C+%3B+)
![x + 9 = ( x - 21 ) K \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+x+%2B+9+%3D+%28+x+-+21+%29+K+%5C+%3B+)
Далее это целочисленное уравнение можно решить двумя способами:
[[[ 1-ый способ ]]]
![K = \frac{ x + 9 }{ x - 21 } = \frac{ x - 21 + 21 + 9 }{ x - 21 } = \frac{ x - 21 + 30 }{ x - 21 } = \frac{ x - 21 }{ x - 21 } + \frac{30}{ x - 21 } = 1 + \frac{30}{ x - 21 } \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+K+%3D+%5Cfrac%7B+x+%2B+9+%7D%7B+x+-+21+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+x+-+21+%2B+21+%2B+9+%7D%7B+x+-+21+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+x+-+21+%2B+30+%7D%7B+x+-+21+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+x+-+21+%7D%7B+x+-+21+%7D+%2B+%5Cfrac%7B30%7D%7B+x+-+21+%7D+%3D+1+%2B+%5Cfrac%7B30%7D%7B+x+-+21+%7D+%5C+%3B+)
![K = 1 + \frac{30}{ x - 21 } \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+K+%3D+1+%2B+%5Cfrac%7B30%7D%7B+x+-+21+%7D+%5C+%3B+)
Чтобы
![K](https://tex.z-dn.net/?f=+K+)
было целым, целой должен быть и результат деления в дроби, а чтобы
![K](https://tex.z-dn.net/?f=+K+)
было максимальным, частное от деления в дроби должно быть максимальным, а значит её знаменатель должен быть минимальным, целым, положительным числом, что возможно только, когда
![x - 21 = 1 \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+x+-+21+%3D+1+%5C+%2C+)
откуда:
![x = 22 \ ; K = 31 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+x+%3D+22+%5C+%3B+K+%3D+31+%5C+%3B+)
[[[ 2-ой способ ]]]
![x + 9 = K x - 21 K \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+x+%2B+9+%3D+K+x+-+21+K+%5C+%3B+)
![9 + 21 K = ( K - 1 ) x \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+9+%2B+21+K+%3D+%28+K+-+1+%29+x+%5C+%3B+)
![x = \frac{ 9 + 21 K }{ K - 1 } = \frac{ 9 + 21 ( K - 1 + 1 ) }{ K - 1 } \ = \frac{ 9 + 21 ( K - 1 ) + 21 }{ K - 1 } = \frac{ 30 + 21 ( K - 1 ) }{ K - 1 } = \\\\ = \frac{30}{ K - 1 } + \frac{ 21 ( K - 1 ) }{ K - 1 } = \frac{30}{ K - 1 } + 21 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+x+%3D+%5Cfrac%7B+9+%2B+21+K+%7D%7B+K+-+1+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+9+%2B+21+%28+K+-+1+%2B+1+%29+%7D%7B+K+-+1+%7D+%5C+%3D+%5Cfrac%7B+9+%2B+21+%28+K+-+1+%29+%2B+21+%7D%7B+K+-+1+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+30+%2B+21+%28+K+-+1+%29+%7D%7B+K+-+1+%7D+%3D+%5C%5C%5C%5C+%3D+%5Cfrac%7B30%7D%7B+K+-+1+%7D+%2B+%5Cfrac%7B+21+%28+K+-+1+%29+%7D%7B+K+-+1+%7D+%3D+%5Cfrac%7B30%7D%7B+K+-+1+%7D+%2B+21+%5C+%3B+)
![x = \frac{30}{ K - 1 } + 21 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+x+%3D+%5Cfrac%7B30%7D%7B+K+-+1+%7D+%2B+21+%5C+%3B+)
Чтобы
![x](https://tex.z-dn.net/?f=+x+)
было целым, целой должен быть и результат деления в дроби. А максимальное значение знаменателя в такой дроби (при том, что частное от деления остаётся целым) составляет
![K - 1 = 30 \ ,](https://tex.z-dn.net/?f=+K+-+1+%3D+30+%5C+%2C+)
откуда:
![K = 31 \ ; x = 22 \ ;](https://tex.z-dn.net/?f=+K+%3D+31+%5C+%3B+x+%3D+22+%5C+%3B+)
О т в е т :
![K = 31 \ .](https://tex.z-dn.net/?f=+K+%3D+31+%5C+.+)