Физика имеет дело с физическими величинами. Это, в общем-то, тривиальное заявление, но в нём есть глубокий смысл: физические величины можно измерить. А "измерить" означает сказать – сколько. Сколько некоторых единиц отсчёта содержится в полученном при измерении значении. Для некоторых величин этого оказывается достаточным. Если мы говорим, что этот кирпич весит 1,2 кг, то "1,2 кг" исчерпывающим образом характеризует такую физическую величину, как масса кирпича. Если мы говорим, что "расстояние от Москвы до Петербурга – 651 км", то "651 км" тоже исчерпывающим образом характеризует такую величину, как "расстояние между двумя точками". Когда некоторая величина однозначно характеризуются только своим числовым значением, она называется скалярной (скаляром).
Но "сколько" – не единственная характеристика многих величин, с которыми имеет дело физика. Некоторые характеризуются ещё и направлением. 651 км от Москвы – не только до Петербурга, но и до километрового столба "651" на трассе Москва-Ростов. Одно и то же число – но какие разные точки на карте...
Ещё сходный пример: вот мы вылетели из Москвы и полетели со скоростью 900 км/час. Вопрос: где мы окажемся через 2 часа?
Ясен пень, ответ зависит от того, куда лететь. То есть для скорости важно не только "сколько", но и "куда".
Такие величины, которые характеризуются не только определённым числовым значением, но и направлением, называются векторными. И таких величин в физике множество – это не только скорость, но и перемещение, сила, напряжённость поля и множество других. Даже, как ни странно, площадь. Поверхность, площадь которой нас интересует, тоже ведь может быть ориентирована как угодно.
Геометрически вектор можно представить себе как направленный отрезок (стрелочка); при этом длина вектора - вещь, не зависящая от его направления. То есть скаляр. В такой геометрической интерпретации сразу становится видной разница между векторами одинаковой длины (это называется - с одинаковым модулем), но направленными в разные стороны, как и разница между однонаправленными векторами, но разной длины.
Как математический объект, вектора можно складывать и вычитать друг с другом. Для сложения двух векторов действует правило параллелограмма: сумма векторов - это диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых.
Вектора можно умножать на скаляр (положительный или отрицательный). Это выражается в изменении длины вектора без изменения его направления. Умножение на отрицательный скаляр приводит к изменению направления вектора на противоположное.
И вектора можно перемножать друг с другом. Но тут появляется некоторый выбор... Существует два разных вида произведения векторов - скалярное и векторное. Скалярное произведение - это, например, работа (работа как физическая величина есть скаляр). Оно вычисляется как произведение длин (модулей) векторов на косинус угла между ними. Векторное произведение чаще всего встречается в электродинамике (скажем, сила Ампера), но есть примеры векторного произведения и в механике - например, кориолисово ускорение.
