Question

Диагонали ромба а и в.Найдите высоту ромба

Answer 1

Есть такая формула для площади произвольного четырёхугольника с диагоналями d₁, d₂, угол между которыми φ:

S = ½ d₁d₂ sin φ.

В случае ромба (угол между диагоналями прямой) это даёт

S = ½ d₁d₂ = ½·14·48 = 336.

С другой стороны, S = ah, где a — сторона, h — высота ромба. Сторону можно найти по теореме Пифагора, рассмотрев треугольник-четвертинку ромба:

a² = (14/2)² + (48/2)² = 49 + 576 = 625 = 25²,
a = 25.

Следовательно, 336 = S = 25h, откуда h = 13,44 (см) .

В общем виде: S = ½ d₁d₂ = ah = ½√(d₁² + d₂²) · h, h = d₁d₂/√(d₁² + d₂²).

С трапецией всё хуже. Только через диагонали (не зная ещё какого-нибудь элемента) площадь выразить не получится.

========== ДОБАВЛЕНИЕ

Пусть ABCD — трапеция (BC < DA — основания) . Проведём через вершину C прямую CE || BD до пересечения с прямой DA. BCED — параллелограмм. Диагональ CD делит его на два треугольника одинаковой площади. Поэтому

S(ABCD) = S(ABD) + S(BCD) = S(ABD) + S(CDE) = S(ACD) + S(CDE) = S(ACE).

У треугольника ACE стороны равны d₁ и d₂, высота h.

AE = √(AC² − h²) + √(CE² − h²) =
= √(d₁² − h²) + √(d₂² − h²).

S(ABCD) = S(ACE) = ½ (√(d₁² − h²) + √(d₂² − h²)) h.