Question

В трапеции ABCD диагонали AC=3 см и BD = 5 см. Отрезок, соединяющий середины AD и BC, равен 2 см. Чему равна в см2 площадь трапеции ABCD?

Answer 1

Пусть дана трапеция ABCD, BC||AD AC=3, BD=5среднняя линия трапеции EF=2, по свойству средней линии трапецииBC+AD=2*EF=2*2=4Пусть диагонали пересекаются в точке ОПусть BC=x см, тогда AD=4-x см.Опустим высоты BK и CN (точки K и N лежат на основании AD), тогда KN=BC=xПусть AK=y, тогда DN=4-x-x-y=4-2x-yAN=x+yDK=4-x-yВысоты трапеции равны, поэтому5^2-(4-x-y)^2=3^2-(x+y)^2Сделаем заменуx+y=t25-(4-t)^2=9-t^225-16+8t-t^2=9-t^29+8t=98t=0t=0значит рисунок сделано неверно, и точка К лежит вне трапецииПусть AK=y, AD=4-x, KN=BC=x, KD=4-x+y=4-(x-y), AN=x-yтогда используя равенство высот5^2-(4-(x-y))^2=3^2-(x-y)^2Сделаем заменуk=x-y25-(4-k)^2=9-k^225-16+8k-k^2=9-k^29+8k=98k=0k=0а значит x=yзначит AN=0 и точки А и N совпдают, и диаональ АС является высотой трапецииПлощадь трапеции равна произведению средней линии трапции на ее высоту, поэтомуплощадь данной трапеции равна EF*AC=2*3=6ответ: 6