Question

Через точку (1;4) проходят две касательные к графику функции

Answer 1

Производная функции: $f'(x)= \frac{2}{x^2}$
Уравнение касательной: $y = f'(x_0)*(x-x_0) + f (x_0)$
Нам нужно найти все $x_0$
x и y нам известны, так что подставляем всё это в уравнение касательной:
$4 = \frac{2}{x_0^2}*(1-x_0) + (-2 - \frac{-2}{x_0} )$
Решив это уравнение получим корни $x_0= \frac{1}{3}$ и $x_0=-1$
Сумма абсцисс равна $\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$

Answer 2

Уравнение касательной в точке х =а имеет вид
у = f(a) + f'(a)·(x - a)
f(a) = 2а² + 4а + 3
f'(х) = 4х + 4
f'(а) = 4а + 4 = 4(1 + а)
Известно, что у = 1 при х = 1, тогда
1 = 2а² + 4а + 3 + 4(1 + а)·(1 - а)
Решим уравнение относительно а
1 = 2а² + 4а + 3 + 4(1 - а²)
1 = 2а² + 4а + 3 + 4 - 4а²
2а² - 4а - 6 = 0
или
а² - 2а - 3 = 0
По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна коэффициенту перед х с противоположным знаком, т.е. а₁ + а₂ = 2
Ответ: сумма абсцисс точек касания равна 2.