Question

Определить полную поверхность цилиндра, описанного около куба с ребром "а". ​

Answer 1

Ответ:

$s = 2\pi {a}^{2} ( \sqrt{2} + 1)$

Пошаговое объяснение:

Площадь поверхности цилиндра высчитывается по формуле

$s = 2\pi r(r + h)$

где r - радиус окружности в основании цилиндра, а h - высота цилиндра.

Очевидно, что высота цилиндра - это ребро куба, значит

$h = a$

Найдём радиус окружности.

Рассмотрим верхнее основание цилиндра.

В нём:

1. Квадрат ABCD со стороной a вписан в окружность с радиусом r.
2. Половина диагонали куба соединяет центр окружности с точкой на окружности, значит половина диагонали квадрата есть радиус.

Найдём диагональ квадрата.

Рассмотрим треугольник ACD.

В нём:

1. AC - гипотенуза. Назовём её "с".
2. AD = CD = a по построению. Назовём AD "b", a CD "k".

По теореме Пифагора:

${c}^{2} = {b}^{2} + {k}^{2} \\ b = k = a \\ {c}^{2} = 2 {a}^{2} \\ c = a \sqrt{2}$

Значит

$r = \frac{c}{2} = \frac{a \sqrt{2} }{2}$

Подставим в формулу нахождения полной площади цилиндра значения r и h:

$s = 2\pi r(r + h) = \pi {a}^{2} 2( \sqrt{2} + 1)$