Даны координаты вершин пирамиды:
А1 (1, 1, 1), А2 (2,
0, 2), А3(2, 2, 2), А4 (3, 4, -3).
Найти:
1) длину ребра А1А2.
|A1A2| = √((2-1)²+(0-1)²+(2-1)²) = √3 ≈ 1,73205.
2) угол α между ребрами А1А2 и А1А3.
Вектор А1А2: (2-1=1; 0-1=-1; 2-1=1) = (1; -1; 1).
Вектор А1А3: (2-1=1; 2-1=1; 2-1=1) = (1; 1; 1).
cos α = |1*1+(-1)*1+1*1|/(√(1²+(-1)²+1²)*√(1²+1²+1²) = 1/(√3*√3) = 1/3.
α = arc cos(1/3) = 1,2309594
радиан = 70,528779
градуса.
<span>3) площадь грани А1А2А3.
</span><span>S = (1/2)*<span>|a × b|.</span></span>
Найдем векторное произведение векторов:
c<span> = </span>a<span> × </span>b.
a × b = <span><span>ijk</span><span><span>ax</span><span>ay</span><span>az</span></span><span><span>bx</span><span>by</span><span>bz</span></span></span> = <span><span>ijk</span><span>1-11</span><span>111</span></span> = i ((-1)·1 - 1·1) - j (1·1 - 1·1) + k (1·1 - (-1)·1) =
= i (-1 - 1) - j (1 - 1) + k (1 + 1) = {-2; 0; 2}
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx²<span> + cy</span>²<span> + cz</span>²) = √((-2)² + 0² + 2²) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2.
Найдем площадь треугольника:
<span>S = (1/2)*<span>2√2</span><span> = <span>√2</span> ≈ <span>1,41421356.
</span></span></span>Площадь грани можно также найти по формуле:
S = (1/2)|A1A2|*|A1A3|*sin α.
Синус найдём через найденный косинус угла между векторами:
sin α = √(1-cos²α) = √(1-(1/3)²) = √(8/9) = 2√2/3.
Модули векторов уже найдены при определении косинуса угла:√3 и √3.
Площадь грани A1A2A3 равна:
S = (1/2)*√3*√3*2√2/3 = √2.
<span>
</span>4) объем пирамиды А1А2А3A4 (с учётом, что A1A4 =(2;3;-4)<span>).
V = (1/6)*|</span><span><span>1 -1 1|
</span><span> |1 1 1|
</span><span> |2 3 -4|.
</span></span>Так как определитель матрицы
<span>∆ = 1*(1*(-4)-3*1)-1*((-1)*(-4)-3*1)+2*((-1)*1-1*1) = -12, то объём равен:
</span>V = (1/6)*12 = 2.
5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.
<span> Длина высоты пирамиды
H=3V/Sосн = 3*2/</span>√2 = 3√2 ≈ <span><span>4,242641.</span></span>
