Question

Указати найбільше ціле значення параметра а, за якого рівняння 2^2х+(а+1)*2^х+1/4=0 має два різних корені

Answer 1

$2^{2x}+(a+1)}*2^x+1/4=0\\ 2^x=t\\ t^2+(a+1)t+1/4=0\\ D=a^2+2a+1-4*1/4=a^2+2a\\ a^2+2a>0\\ a(a+2)>0\\ a<-2,a>0$

если a> 0 комплексные корни

если а<-2 действительные

Ответ а=-3

Answer 2

2^x = y

 

y^2 +(a+1)*y +1/4 =0 

A=1  B=(a+1)  C= 1/4

D=B*B - 4AC =(a+1)^2 - 4 * 1 * 1/4 =  (a+1)^2 -  1 = (a+1 - 1) * (a+1 +1) = a*(a+2)

D>0 при 1)   a>0 и  a>-2  ==> a>0

                 2)   a<0 и  a<-2  ==> a<-2

 

y1 = (-B-D^(1/2))/(2A) <0 при всех значениях а ==> 2^x = y1<0  ни при каких значениях х

 

y2=(-B+D^(1/2))/(2A) = (-a-1 + (a*(a+2))^1/2 )/2 >0  если (-a-1 + (a*(a+2))^1/2 )>0  ==>

(a*(a+2))^1/2 > a+1  ==> a*(a+2) > (a+1)^2  ==>   (a+1)^2 -  1  > (a+1)^2  ==>  -1 > 0 всегда неверно  ==>  ни при каких значениях х

 

ни при каких значениях х уравнение не имеет 2 разных действительных корня

 

Комплексные корни получаться если D<0

Это будет если a*(a+2)<0  ==>  1) a<0   и a>-2  ==>  [-2; 0]

                                                           2) a>0  и  a<-2  === пустое множествоё

 

2 комплексных корня будут при a=-1 так как при а =0 и а=-2 будет 1 корень.