Решим задачу строго так, как она поставлена, без пренебрежений по отношению к изменению плотности воздуха, в модели идеального газа, которая хорошо оправдывается именно при нормальных условиях в диапазоне комнатных температур, используя хорошо известные молярные: изобарную (
![P = const](https://tex.z-dn.net/?f=+P+%3D+const+)
) среднюю теплоёмкость сухих компонент воздуха, равную
![c_{p-cyx} \approx \frac{7}{2}R](https://tex.z-dn.net/?f=c_%7Bp-cyx%7D+%5Capprox+%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7DR+)
, и изобарную теплоёмкость пара, равную
![c_{p-nap} \approx 4R](https://tex.z-dn.net/?f=+c_%7Bp-nap%7D+%5Capprox+4R+)
, поскольку сухая компонента воздуха преимущественно двухатомная, а пар – трёхатомный.
Обозначим:
![\psi](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cpsi+)
– количество вещества СУХИХ КОМПОНЕНТ ВОЗДУХА.
![\mu \approx 18](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cmu+%5Capprox+18+)
г/моль
![, \nu , \rho](https://tex.z-dn.net/?f=+%2C+%5Cnu+%2C+%5Crho+)
и
![\eta](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Ceta+)
– молярная масса, количество вещества, парциальная плотность ВОДЯНОГО ПАРА и относительная влажность.
![\rho_o](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Crho_o+)
– парциальная плотность НАСЫЩЕННОГО водяного пара.
Индексы [5] – соответствуют температуре
![t_5 \approx 15^oC \approx T_5 \approx 288.15 K .](https://tex.z-dn.net/?f=+t_5+%5Capprox+15%5EoC+%5Capprox+T_5+%5Capprox+288.15+K+.+)
Индексы [8] – температуре
![t_8 \approx 28^oC \approx T_8 \approx 301.15 K .](https://tex.z-dn.net/?f=+t_8+%5Capprox+28%5EoC+%5Capprox+T_8+%5Capprox+301.15+K+.+)
Безиндексные параметры относятся к смеси и конечной температуре, либо неизменны.
Для 1-ой порции воздуха можно записать:
![PV_5 = (\psi_5+\nu_5)RT_5 ;](https://tex.z-dn.net/?f=+PV_5+%3D+%28%5Cpsi_5%2B%5Cnu_5%29RT_5+%3B+)
![\psi_5 + \nu_5 = \frac{PV_5}{RT_5} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cpsi_5+%2B+%5Cnu_5+%3D+%5Cfrac%7BPV_5%7D%7BRT_5%7D+%3B+)
Для второй:
![\psi_8 + \nu_8 = \frac{PV_8}{RT_8} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cpsi_8+%2B+%5Cnu_8+%3D+%5Cfrac%7BPV_8%7D%7BRT_8%7D+%3B+)
Парциальную плотность пара можно найти непосредственно или через относительную влажность, а через двойное равенство можно выразить и количество вещества:
![\rho_5 = \frac{ \nu_5 \mu }{V_5} = \eta_5 \rho_{o5} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Crho_5+%3D+%5Cfrac%7B+%5Cnu_5+%5Cmu+%7D%7BV_5%7D+%3D+%5Ceta_5+%5Crho_%7Bo5%7D+%3B+)
![\nu_5 = \frac{ V_5 \eta_5 \rho_{o5} }{\mu} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cnu_5+%3D+%5Cfrac%7B+V_5+%5Ceta_5+%5Crho_%7Bo5%7D+%7D%7B%5Cmu%7D+%3B+)
![\nu_8 = \frac{ V_8 \eta_8 \rho_{o8} }{\mu} ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cnu_8+%3D+%5Cfrac%7B+V_8+%5Ceta_8+%5Crho_%7Bo8%7D+%7D%7B%5Cmu%7D+%3B+)
Запишем теперь уравнений теплового баланса для обеих порций воздуха через молярные изобарные теплоёмкости:
![\Big( \frac{7}{2}R \psi_5 + 4R \nu_5 \Big) (T-T_5) + \Big( \frac{7}{2}R \psi_8 + 4R \nu_8 \Big) (T-T_8) = 0 ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5CBig%28+%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7DR+%5Cpsi_5+%2B+4R+%5Cnu_5+%5CBig%29+%28T-T_5%29+%2B+%5CBig%28+%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7DR+%5Cpsi_8+%2B+4R+%5Cnu_8+%5CBig%29+%28T-T_8%29+%3D+0+%3B+)
![\Big( \frac{7}{2} ( \psi_5 + \nu_5 ) + \frac{1}{2} \nu_5 ) (T-T_5) + ( \frac{7}{2} ( \psi_8 + \nu_8 ) + \frac{1}{2} \nu_8 \Big) (T-T_8) = 0 ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5CBig%28+%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D+%28+%5Cpsi_5+%2B+%5Cnu_5+%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cnu_5+%29+%28T-T_5%29+%2B+%28+%5Cfrac%7B7%7D%7B2%7D+%28+%5Cpsi_8+%2B+%5Cnu_8+%29+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cnu_8+%5CBig%29+%28T-T_8%29+%3D+0+%3B+)
![\Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 \Big) (T-T_5) + \Big( 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) (T-T_8) = 0 ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5CBig%28+7+%5Cfrac%7BPV_5%7D%7BRT_5%7D+%2B+%5Cnu_5+%5CBig%29+%28T-T_5%29+%2B+%5CBig%28+7+%5Cfrac%7BPV_8%7D%7BRT_8%7D+%2B+%5Cnu_8+%5CBig%29+%28T-T_8%29+%3D+0+%3B+)
![\Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 + 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) T = \Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 \Big) T_5 + \Big( 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) T_8 ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5CBig%28+7+%5Cfrac%7BPV_5%7D%7BRT_5%7D+%2B+%5Cnu_5+%2B+7+%5Cfrac%7BPV_8%7D%7BRT_8%7D+%2B+%5Cnu_8+%5CBig%29+T+%3D+%5CBig%28+7+%5Cfrac%7BPV_5%7D%7BRT_5%7D+%2B+%5Cnu_5+%5CBig%29+T_5+%2B+%5CBig%28+7+%5Cfrac%7BPV_8%7D%7BRT_8%7D+%2B+%5Cnu_8+%5CBig%29+T_8+%3B+)
Перемножим это уравнение на
![PV = RT( \psi_5 + \nu_5 + \psi_8 + \nu_8 ) ;](https://tex.z-dn.net/?f=+PV+%3D+RT%28+%5Cpsi_5+%2B+%5Cnu_5+%2B+%5Cpsi_8+%2B+%5Cnu_8+%29+%3B+)
![\frac{PV}{R} \Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 + 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) =\\\\= ( \psi_5 + \nu_5 + \psi_8 + \nu_8 ) \Big[ \Big( 7 \frac{PV_5}{RT_5} + \nu_5 \Big) T_5 + \Big( 7 \frac{PV_8}{RT_8} + \nu_8 \Big) T_8 \Big] ;](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BPV%7D%7BR%7D+%5CBig%28+7+%5Cfrac%7BPV_5%7D%7BRT_5%7D+%2B+%5Cnu_5+%2B+7+%5Cfrac%7BPV_8%7D%7BRT_8%7D+%2B+%5Cnu_8+%5CBig%29+%3D%5C%5C%5C%5C%3D+%28+%5Cpsi_5+%2B+%5Cnu_5+%2B+%5Cpsi_8+%2B+%5Cnu_8+%29+%5CBig%5B+%5CBig%28+7+%5Cfrac%7BPV_5%7D%7BRT_5%7D+%2B+%5Cnu_5+%5CBig%29+T_5+%2B+%5CBig%28+7+%5Cfrac%7BPV_8%7D%7BRT_8%7D+%2B+%5Cnu_8+%5CBig%29+T_8+%5CBig%5D+%3B+)
Подставим сюда
![\psi_5 , \nu_5 , \psi_8](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cpsi_5+%2C+%5Cnu_5+%2C+%5Cpsi_8+)
и
![\nu_8 :](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cnu_8+%3A+)
![V \Big( 7\mu P \Big( \frac{V_5}{T_5} + \frac{V_8}{T_8} \Big) + R(V_5 \eta_5 \rho_{o5} + V_8 \eta_8 \rho_{o8} ) \Big) =\\\\= \Big( \frac{V_5}{T_5} + \frac{V_8}{T_8} \Big) \Big( 7 \mu P ( V_5 + V_8 ) + R ( T_5 V_5 \eta_5 \rho_{o5} + T_8 V_8 \eta_8 \rho_{o8} ) \Big) ;](https://tex.z-dn.net/?f=+V+%5CBig%28+7%5Cmu+P+%5CBig%28+%5Cfrac%7BV_5%7D%7BT_5%7D+%2B+%5Cfrac%7BV_8%7D%7BT_8%7D+%5CBig%29+%2B+R%28V_5+%5Ceta_5+%5Crho_%7Bo5%7D+%2B+V_8+%5Ceta_8+%5Crho_%7Bo8%7D+%29+%5CBig%29+%3D%5C%5C%5C%5C%3D+%5CBig%28+%5Cfrac%7BV_5%7D%7BT_5%7D+%2B+%5Cfrac%7BV_8%7D%7BT_8%7D+%5CBig%29+%5CBig%28+7+%5Cmu+P+%28+V_5+%2B+V_8+%29+%2B+R+%28+T_5+V_5+%5Ceta_5+%5Crho_%7Bo5%7D+%2B+T_8+V_8+%5Ceta_8+%5Crho_%7Bo8%7D+%29+%5CBig%29+%3B+)
>>> продолжение на иллюстрациях >>>