Question

Два шарика массой 1 г каждый подвешены на нитях,верхние концы которых соединены вместе.Длина каждой нити 10 см.Какие одинаковые по величине заряды можно сообщить шарикам,чтобы нити разошлись на угол 60 градусов?

Answer 1

Дано:

Масса шариков: m = 1 г = 0,001 кг.

Длина нити: L = 10 см = 0,1 м.

Угол между нитями: β = 60°.

Найти нужно заряды на шариках: q - ?

Решение:

1. Построим рисунок (см. приложение). Рассматривая силы действующие на шарик, будем иметь дело с углом $\alpha = \dfrac{\beta}{2}.$

2. Запишем второй закон Ньютона для одного шарика: $\vec{F_K} + \vec{T} + m\vec{g} = 0.$

3. Возьмём проекцию на ось Оy: $mg = T\cos\alpha.$

4. Выразим из (3) силу натяжения нити: $T = \dfrac{mg}{\cos\alpha}.$

5. Возьмём проекцию на ось Оx: $F_K = T\sin\alpha.$

6. Объединяем (4) и (5): $F_K = \dfrac{mg\sin\alpha}{\cos\alpha} = mg\,\text{tg}\alpha.$

7. Вспоминаем формулу силы кулоновского взаимодействия:  $F_K = k\dfrac{|q_1||q_2|}{r^2}$, учитывая, что заряды одинаковы: $F_K = k\dfrac{q^2}{r^2}.$

8. Из геометрии имеем: $\sin\alpha = \dfrac{r/2}{L} \Longrightarrow r = 2L\sin\alpha.$

9. Объединяем (6), (7) и (8): $k\dfrac{q^2}{(2L\sin\alpha)^2} = mg\,\text{tg}\alpha.$

10. Выразим заряд из (9), вспомним угол β: $q = \pm\sqrt{\dfrac{mg\,\text{tg}\alpha(2L\sin\alpha)^2}{k}} = \pm\;2L\sin\dfrac{\beta}{2}\sqrt{\dfrac{mg\,\text{tg}\dfrac{\beta}{2}}{k}}.$

Прошу не удивляться знаку "±" перед корнем. Отталкиваться будут как два положительных, так и два отрицательных заряда. Более того, алгебраически, извлекая корень чётной степени, необходимо учитывать оба знака.

Численно получим:

$q = \pm\;2\cdot0,1\cdot\sin\dfrac{60^{\circ}}{2}\sqrt{\dfrac{0,001\cdot10\,\text{tg}\dfrac{60^{\circ}}{2}}{9\cdot10^9}} = \pm\;8\cdot 10^{-8}$ (Кл).

Переведём в нанокулоны:  $q = \pm\;8\cdot 10^{-8}$ Кл = ± 80 нКл.

Ответ: 80 нКл, или -80 нКл.