Пусть диагонали параллелограмма -- это векторы c и d.
Пользуясь правилом треугольника, выразим диагонали через векторы a и b:
c = a + b = (4m + 2n) + (4m + n) = 8m + 3n
d = a - b = (4m + 2n) = (4m + n) = n
Скалярное произведение c*d = (8m + 3n)*n = 8mn + 3nn
nn = |n| * |n| * cos0° = 1 * 1 * 1 = 1
3nn = 3
mn = |m| * |n| * cos60° = 1 * 1 * 1/2 = 1/2
8mn = 4
c*d = 8mn + 3nn = 3 + 4 = 7
Таким образом |c| * |d| * cos(c^d) = 7
Чтобы найти косинус между c и d из формулы скалярного произведения нужно найти |c| и |d|:
![|c| = \sqrt{c^2} = \sqrt{(8m + 3n)^2}= \sqrt{64mm+48mn+9nn}= \\ \\ \sqrt{64+24+9} = \sqrt{97} \\ \\ |d|= \sqrt{d^2}= \sqrt{n^2} = \sqrt{1} =1](https://tex.z-dn.net/?f=%7Cc%7C+%3D+++%5Csqrt%7Bc%5E2%7D+%3D+%5Csqrt%7B%288m+%2B+3n%29%5E2%7D%3D++%5Csqrt%7B64mm%2B48mn%2B9nn%7D%3D+++%5C%5C++%5C%5C+%5Csqrt%7B64%2B24%2B9%7D+%3D+%5Csqrt%7B97%7D++%5C%5C++%5C%5C+%7Cd%7C%3D++%5Csqrt%7Bd%5E2%7D%3D+%5Csqrt%7Bn%5E2%7D+%3D+%5Csqrt%7B1%7D+%3D1)
То есть c*d = |c| * |d| * cos(c^d) = √97 * cos(c^d) = 7
cos(c^d) =
![\frac{7}{ \sqrt{97} }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B7%7D%7B+%5Csqrt%7B97%7D+%7D+)
(с^d) = arccos
![\frac{7}{ \sqrt{97} }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B7%7D%7B+%5Csqrt%7B97%7D+%7D+)