1. Тoчка пересечения высот DH и EK треугольника DEF является центром описанной около него окружности . Докажите, что треугольник
DEF равносторонний
2.В прямоугольном треугольнике тоска касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см. Найдите радиус окружности , если периметр треугольника равен 30 см
3. Даны окружности радиуса 3 см и принадлежащая ей точка М. Постройте точку,удаленную от точки М на 2 см и от центра окружности на 1,5 см. Сколько решений имеет задача ?
1) Так как центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а в условии сказано , что этот центр лежит на пересечении высот, то в ΔDEF высоты DH и EK являются серединными перпендикулярами. Так как основания перпендикуляров лежат на серединах сторон, то они явл. ещё и медианами. То есть медианы треугольника DEF - это ещё и высоты. Это может быть только в равностороннем (правильном) треугольнике. ΔDEF - равносторонний. 2) ΔАВС , ∠С=90°. По теореме об отрезках касательных проведённых из одной точки , имеем AM=AN=10 , BN=BP=3 , CM=CP=r - радиус вписанной окружности. Р=30, P=10+10+3+3+r+r=26+2r , 30=26+2r , 2r=4 , r=2 3) Точка М лежит на окр. радиуса R=3 см. Точки, удалённые от т. М на расстояние 2 см, лежат на окружности с центром в точке М и радиуса r=2 см. Точки, удалённые от центра первой окружности на расстояние 1,5 см , лежат на окружности с этим же центром , точкой О, и r=1,5 см. Искомые точки будут принадлежать одновременно окружности с r=2 см и окружности с r=1,5 см.То есть это будут точки пересечения окружностей с центрами в точках М и О, с радиусами 2 см и 1,5 см - точки А и В. Задача имеет 2 решения. Смотри рисунок.
Т.к АСD равностороний, значит AC=P:3 AC=27:3=9 AC принадлежит АВС, АС основание,то АВ+ВС=38-9=29 АВ=29:2=13 т.к АВ и ВС боковые стороны,тоесть они равны
Параллелограмм АВСД, уголСАД=30, АС=24, диагонали в параллелограмме в точке пересечения делятся пополам АО=СО=24/2=12, треугольник АОЕ прямоугольный ОЕ - катет и лежит против угла30 и=1/2АО (гипотенузы) ОЕ = 12/2=6