МО⊥пл.α ⇒ МО⊥АО и МО⊥ВО
ΔАОМ и ΔВОМ - прямоугольные
АМ²=АО²+МО²=12²+9²=225=15² , АМ=15
ВМ²=ВО²+ВМ²=16²+12²=400=20² , ВМ=20
∠АМВ=90° по условию ⇒ АВ²=ВМ²+АМ²=15²+20²=625=25² , АВ=25
АО+ВО=9+16=25=АВ ⇒ ∠АОВ=180°
Если не заметить, что АО+ВО=АВ, то чтобы найти ∠АОВ, надо воспользоваться теоремой косинусов в ΔАОВ:
25²=9²+16²-2·9·16·сosα
625=337-288·cosα
288=-288·cosα
cosα=-1 ⇒ α=180°
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Я для этой задачи сделаю исключение. Дело в том, что недавно возникла дискуссия о пользе теоремы Чевы. А это - очень хороший пример, когда задача просто устная благодаря этой теореме.
Нужна вспомогательная задача. Пусть есть произвольный треугольник ABC, и на стороне AB выбрана точка A1 так, что отношение BA1/A1C - фиксированное число k. Пусть на AA1 выбрана точка O, так что AO/OA1 - тоже заданное число m.
Легко видеть, что если построить две другие чевианы, проходящие через точку О, то отношения CB1/B1A = x и CA1/A1B = y будут однозначно определяться числами к и m, не зависимо от конкретного вида треугольника ABC. В самом деле
x + y = m (теорема Ван Обеля)
ky/x = 1 (теорема Чевы)
то есть y = m/(k + 1); x = km/(k + 1);
Теперь - к этой задаче.
Есть два треугольника - ACM и BCM. Для которых CH/HM = k одинаковое :) ну просто потому, что это общая сторона.
И кроме того AE/EH = BF/FH = m = 1;
Из вспомогательной задачи следует CP/PA = CQ/QB,
что означает PQ II AB; это все решение.
Заметьте, что нигде не использовано, что CM - высота, и что H - ортоцентр. То есть условие будет работать вообще для любых чевиан, а не только для высот.
Семья играет очень важную роль в жизни каждого. Трудовые достижения, настроение и то, что называется счастье зависит от отношений в семье. Когда молодые люди вступают в брак, они иногда думают, что счастье в их брак будет создан кем-то другим, а не сами по себе. Они ошибаются.Если мы говорим о семье, это то те самые люди,которые всегда честны и открыты с тобой.А мы этого не всегда понимаем.Дети, особенно в подростковом возрасте, воспринимают родителей как ограничение своей свободы.Они видят в родителях врага, которому нужно противостоять.Это крайне неправильно.Разве не родители в первую очередь поймут и поддержат в сложной ситуации?Семья-первое, что мы видим при рождении, это первое наше общество, первые друзья.Как же мы можем так относиться к людям, с такой заботой и нежностью вырастивших нас!Да, иногда родители строги, но спросите себя, почему?Потому, что они хотят, чтобы вы были лучше,ведь они очень любят вас!
