Question

При каком p вершина параболы y = x^
2 + px + 58 находится на
расстоянии 10 от начала координат, если известно, что вершина параболы
лежит в третьей четверти.

Answer 1

1) Координаты вершины параболы - точка (x', y'):
$x'=- \frac{p}{2} ;\ y'=y(- \frac{p}{2})= \frac{p^2}{4}- \frac{p^2}{2}+58=58-\frac{p^2}{4}\\ \Rightarrow (- \frac{p}{2};\ 58-\frac{p^2}{4})$
2) Т.к. вершина параболы - в III четверти, то x'<0 и y'<0, т.е.
$\begin {cases} - \frac{p}{2} \ \textless \ 0 \\ 58-\frac{p^2}{4}\ \textless \ 0 \end {cases} \ \Leftrightarrow \begin {cases} p\ \textgreater \ 0 \\ p^2}\ \textgreater \ 232 \end {cases} \ \Rightarrow p\ \textgreater \ \sqrt{232}$
3) Расстояние до начала координат равно 10 и задается уравнением:
$(- \frac{p}{2})^2+(58- \frac{p^2}{4} )^2=10^2 \\ \frac{p^2}{4}+(58- \frac{p^2}{4} )^2=100$
Замена $t=\frac{p^2}{4},\ t\ \textgreater \ 58$
t + (58 - t)² - 100 = 0
t² - 115t + 3264 = 0
D = 13225-13026 = 169
t=51 или t=64
Требованию t>58 удовлетворяет t=64, поэтому
$\frac{p^2}{4}=64 \Rightarrow p = \pm 16$
Т.к. $p\ \textgreater \ \sqrt{232}$, то р=16.
Ответ: р=16.