Задача: найти локальные экстремумы функции
![f(x) = x^4 - 2x^2 + 1](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29+%3D+x%5E4+-+2x%5E2+%2B+1)
.
Воспользуемся вторым достаточным условием экстремума: если
![f'(x_0) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x_0%29+%3D+0)
и
![f''(x_0) \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%28x_0%29+%5Cneq+0)
, то точка
![x_0](https://tex.z-dn.net/?f=x_0)
является точкой экстремума, причём если
![f''(x) > 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%28x%29+%3E+0)
, то т.
![x_0](https://tex.z-dn.net/?f=x_0)
является точкой локального минимума, а если
![f''(x) < 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%28x%29+%3C+0)
, то точкой максимума.
1. Найдём точки, подозрительные на экстремум из условия
![f'(x_0) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x_0%29+%3D+0)
.
![f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 1)' = 4x^3 - 4x](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29+%3D+%28x%5E4+-+2x%5E2+%2B+1%29%27+%3D+4x%5E3+-+4x)
![4x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow x(4x^2 - 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ 4x^2 - 4 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = -1\end{array}\right.](https://tex.z-dn.net/?f=+4x%5E3+-+4x+%3D+0+%5CLeftrightarrow+x%284x%5E2+-+4%29+%3D+0+%5CLeftrightarrow+%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+x+%3D+0+%5C%5C+4x%5E2+-+4+%3D+0+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.+%5CLeftrightarrow%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D+x+%3D+0%5C%5C+x+%3D+1%5C%5C+x+%3D+-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
Таким образом, точками, подозрительными на экстремум, являются точки
![x \in \left\{ 0,\:-1,\:1\right\}](https://tex.z-dn.net/?f=x+%5Cin+%5Cleft%5C%7B+0%2C%5C%3A-1%2C%5C%3A1%5Cright%5C%7D)
2. Определим характер данных точек экстремума. Для этого вычислим вторую производную и подсчитаем её значения в данных точках.
![f''(x) = (f'(x))' = (4x^3 - x)' = 12x^2 - 1](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%28x%29+%3D+%28f%27%28x%29%29%27+%3D+%284x%5E3+-+x%29%27+%3D+12x%5E2+-+1)
![f''(0) = 12\cdot0^2 - 1< 0 \Rightarrow](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%280%29+%3D+12%5Ccdot0%5E2+-+1%3C+0+%5CRightarrow)
т.
![x = 0](https://tex.z-dn.net/?f=x+%3D+0)
является точкой локального максимума. Поэтому значение
![f(0) = 1](https://tex.z-dn.net/?f=f%280%29+%3D+1)
является локальным максимумом функции
![f(x)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29)
.
![f''(-1) = 12\cdot(-1)^2 - 1 = 11 > 0 \Rightarrow](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%28-1%29+%3D+12%5Ccdot%28-1%29%5E2+-+1+%3D+11+%3E+0+%5CRightarrow)
т.
![x=-1](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D-1)
является точкой локального минимума. Поэтому значение
![f(-1) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%28-1%29+%3D+0)
является локальным минимумом функции
![f(x)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29)
.
![f''(1) = 12\cdot1^2 - 1 = 11 > 0 \Rightarrow](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%27%281%29+%3D+12%5Ccdot1%5E2+-+1+%3D+11+%3E+0+%5CRightarrow)
т.
![x=1](https://tex.z-dn.net/?f=x%3D1)
является точкой локального максимума. Поэтому значение
![f(1) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=f%281%29+%3D+0)
является локальным минимумом функции
![f(x)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29)
.
P.S. - Прилагаю картинку со скриншотом решения, т.к. у автора вопроса почему-то некорректно отображаются формулы.