Question

Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости k? На рисунке изображено состояние равновесия.

Answer 1

Обобщенной координатой будет угол. Плюс мы сразу ограничимся случаем малых колебаний, так что удлинение пружины мы запишем как L/2*φ. Запишем полную энергию системы:

$E = mL^2\dot\varphi^2/2 + mgL(1-\cos\varphi) + \frac{1}{2}k\frac{L^2\varphi^2}{4} = const\\\\ E = mL^2\dot\varphi^2/2 + 2mgL\frac{\varphi^2}{4} + \frac{1}{2}k\frac{L^2\varphi^2}{4} = mL^2\dot\varphi^2/2 + (2mgL+\frac{kL^2}{2})\frac{\varphi^2}{4}$

Продифференцируем по времени

$\displaystyle 0 = mL^2\dot\varphi\ddot\varphi + (2mgL+\frac{kL^2}{2})\frac{\varphi\dot\varphi}{2} = mL^2\dot\varphi\left(\ddot\varphi+\left(\frac{g}{L}+\frac{k}{4m}\right)\varphi\right)$

В скобках получилось уравнение колебаний, откуда мы понимаем, что новая частота

$\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{g}{L}+\frac{k}{4m}}$