Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями y²=x³, х=0, у=4

Answer 1

У²=х³ это полукубическая парабола, проходит через точки (0,0), (1,1), (-1,1).Её ветви в 1 и 4 четвертях .Так как даны ещё прямые х=0 и у=4, то область будет в 1 четверти.
Точки пересечения линий:

$y=4,y^2=x^3,\\\\16=x^3,x=\sqrt[3]{16}\\\\y^2=x^3\; \to \; y=\pm \sqrt{x^3}\\\\S=\int_0^{\sqrt[3]{16}}(4-\sqrt{x^3})dx=(4x-\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}})|_0^{\sqrt[3]{16}}=4\cdot \sqrt[3]{16}-\frac{2}{5}(\sqrt[3]{16})^{\frac{5}{2}}=\\\\=4\cdot 2\sqrt[3]2-\frac{2}{5}\cdot (16)^{\frac{5}{6}}=8\sqrt[3]2-\frac{2}{5}\cdot 2^{\frac{10}{3}}=8\sqrt[3]2-\frac{2}{5}\cdot 8\sqrt[3]2=\frac{24}{5}\sqrt[3]2$