Question

Геометрическая прогрессия состоит из четырёх членов,сумма крайних её членов равна 45,а произведение средних равно 200.Найдите первый член и знаменатель.

Answer 1

Составим систему уравнений:
b1 + b4 = 45
b3•b2 = 200

Заметим, что b2 = b1q, b3 = b2q = b1q². Тогда:
b1 + b1q³ = 45
b1q•b1q² = 200

b1(1 + q³) = 45
b1²q³ = 200

q³ = 200/b1²
b1(1 + 200/b1²) = 45

q³ = 200/b1²
b1 + 200/b1 = 45

b1² - 45b + 200 = 0
b11 + b12 = 45
b11•b22 = 200

b11 = 40
b12 = 5

b1 = 40
q³ = 200/(40)²

b1 = 5
q³ = 200/(5)²

b1 = 40
q³ = 0,125

b1 = 5
q³ = 8.

b1 = 40
q = 0,5

b1 = 5
q = 2

P.s.: возможны два случая: когда убывающая и когда возрастаяюзая геометрическая прогрессия.

Ответ: b1 = 40; q = 0,5 или b1 = 5; q = 2.