Question

Решить интеграл с помощью тригонометрических подстановок

Answer 1

$\displaystyle \int\limits {x^2 \sqrt{3-x^2} } \, dx =\{ \sqrt{3} \sin t=x;\,\,\,t=\arcsin \frac{x}{\sqrt{3}} \}=\\ \\ \\ = 9\int\limits {\sin^2t\cos^2t} \, dt= \frac{9}{4}\int\limits {\sin^22t} \, dt = \frac{9}{4} \int\limits { \frac{1-\cos4t}{2} } \, dt=\\ \\ \\ = \frac{9}{8} \int\limits {} \, dt- \frac{9}{8} \int\limits {\cos4t} \, dt= \frac{9}{8} t- \frac{9}{8} * \frac{1}{4} \sin4t+C,\,\,\,\,\,\, t=\arcsin \frac{x}{\sqrt{3}}$