Question

Y^3(y-1)dx+3xy^2(y-1)dy=(y+2)dy

Answer 1

y'=(1+3y/x - y²/x²) / (3-2y/x) - однородное уравнение (числитель и знаменатель поделили на x².
Полагаем y=ux => y'=dy/dx=u + xdu/dx. После подстановки уравнение примет вид:
u + xdu/dx=(1+3u-u²)/(3-2u); xdu/dx=(1+3u-u²-3u+2u²)/(3-2u); xdu/dx=(u²+1)/(3-2u). Разделяем переменные:
(3-2u)du/(u²+1)=dx/x. Интегрируем: 3•arctg(u) - ln(u²+1)=ln|x| + C; 3arctg(u) - ln|x(u²+1)|=C.
Возвращаемся к переменной y: 3•arctg(y/x) - ln|(x²+y²)/x|=C.

)))