Question

6-я Задача(перевод плохой ) Отец двух сыновей оставил в наследство участок земли, который имеет трапециевидную форму (рис.). С6-я Задача(перевод плохой ) Отец двух сыновей оставил в наследство участок земли, который имеет трапециевидную форму (рис.). Старший брат apgal- Voja, что, подключив средние точки ребрами, параллельными прямой край, участок земли разделен на две части vienlielās. Последний брат сказал, что это заявление еще ​​предстоит продемонстрировать. Докажите, что отрезок, соединяющий средние точки трапецеидальной основе, делятся на две vienlielās трапеции трапеции!может кто то поймёт на латышском тогда вот ( 6. uzdevums Tēvs saviem diviem dēliem atstāja mantojumā zemes gabalu, kuram ir trapeces forma (zīm.). Vecākais brālis apgal- voja, ka, savienojot paralēlo malu viduspunktus ar nogriezni, zemes gabals tiek sadalīts divās vienlielās daļās. Jaunākais brālis teica, ka šis apgalvojums vēl ir jāpierāda. Pierādi, ka nogrieznis, kas savieno trapeces pamatu viduspunktus, sadala trapeci divās vienlielās trapecēs!)

Answer 1

Достроим трапецию до треугольника, продолжив её боковые стороны. Получим треугольник AOD (см. рис.). По условию задачи AM=MD. Значит, OM - медиана треугольника AOD. Свойство медианы: медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника. Значит, площади треугольников AON и DON равны.
Рассмотрим треугольник BOC. В нём по условию задачи BM=MC, значит OM - медиана и треугольники BOM и COM равновелики.
Площадь трапеции ABMN = разность площадей треугольников AON и BOM. Площадь трапеции NMCD = разность площадей треугольников DON  и COM.
$S_{ABMN}=S_{AON}-S_{BON}\\S_{NMCD}=S_{DON}-S_{COM}\\S_{AON}=S_{DON},\;S_{BON}=S_{COM}\\S_{NMCD}=S_{AON}-S_{COM}=S_{ABMN}$
Что и требовалось доказать.