Question

Найти dy/dx и d^2 y/ dx^2 параметрически заданной функциих= arccos корень из ty= корень из t-t^2

Answer 1

Найти dy/dx и d²y/dx² параметрически заданной функции
х= arccos(корень(t))
y= корень(t-t²)

Решение. Найдем первую производную
dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt)
Отдельно находим производные xt' и yt'
dx/dt = (arccos(корень(t)))'= (-1/(корень(1-t))*(корень(t))'=(-1/(корень(1-t))*(1/(2корень(t))=-1/(2*tкорень(1-t))

$\frac{dx}{dt} = (arccos(\sqrt{t}))'=\frac{-1}{\sqrt{1-(\sqrt{t})^{2}}}*(\sqrt{t})'= \frac{-1}{\sqrt{1-t}}*\frac{1}{2\sqrt{t}}=-\frac{1}{2\sqrt{t-t^{2}}}$

dy/dt = (корень(t-t²))' = (1/(2корень(t-t²)))*(t-t²)'=(1/(2корень(t-t²)))*(1-2t)=
= (1-2t)/(2корень(t-t²))

$\frac{dy}{dt}= (\sqrt{t-t^{2}})' = \frac{1}{2\sqrt{t-t^{2}}}*(t-t^{2})'= \frac{1}{2\sqrt{t-t^{2}}}*(1-2t)=\frac{1-2t}{2\sqrt{t-t^{2}}}$

Следовательно:

$\frac{dy}{dx}= \frac{1-2t}{2\sqrt{t-t^{2}}}:-\frac{1}{2\sqrt{t-t^{2}}}=\frac{1-2t}{2\sqrt{t-t^{2}}}*(-2\sqrt{t-t^{2}})=2t-1$

Найдем d²y/dx² (вторую производную): 
y’’ = [d(dy/dx)/dt]/[dx/dt]
 
$\frac{d\frac{dy}{dx}}{dt}=(2t-1)'=2$

$y"=2: - \frac{1}{ 2\sqrt{t-t^2} } =-2*2\sqrt{t-t^2} =-4\sqrt{t-t^2}$