Question

ЕГЭ-ПРОФИЛЬ 11 КЛАСС 2(log3(tgx))^2+5log3(ctgx)+2=0 Помогите решить, хотя бы привести к одному аргументу

Answer 1

$2(log_3 (tg x))^2+5log_3 (ctg x)+2=0$
ОДЗ: $tg x>0; ctg x>0; x \neq \frac{\pi*n}{2}$ , n  є Z
--$ctgx=\frac{1}{tg x}=(tg x)^{-1}$
$log_a b^c=c*log_a b$
$2(log_3 (tg x))^2+5log_3 (tg x)^{-1}+2=0$
$2(log_3 (tg x))^2-5log_3 (tg x)+2=0$
замена
$log_3 (tg x)=t$
$2t^2-5t+2=0$
$(t-2)(2t-1)=0$
$t-2=0; t_1=2$
$2t-1=0; t_2=0.5$
--при желании квадратное уравнение легко решается через дискриминант
возвращаемся к замене
$t=2$
$log_3 (tg x)=2$
$tg x=3^2=9$
$x=arctg 9+\pi*k$, k є Z -- проходит ОДЗ

$t=0.5$
$log_3 (tgx)=0.5$
$tg x=3^{0.5}=\sqrt{3}$
$x=arctg (\sqrt{3})+\pi*l$
$x=\frac{\pi}{3}+\pi*l$, l є Z -- проходит ОДЗ
в ответ обе серии решений