На лестницу действуют сила тяжести mg<span>, силы нормальных реакций </span><span>N1</span><span> и </span><span>N2</span><span> стены и земли, сила трения </span><span>F<span>mp
</span></span>Лестница опирается одним концом о вертикальную гладкую стену, а другим о землю Октябрь 21st, 2010 | fizportal.ruПредыдущая задача
23. Лестница опирается одним концом о вертикальную гладкую стену, а другим − о землю. Коэффициент трения лестницы о землю μ = 0,4. Центр тяжести лестницы находится на ее середине. Определить наименьший угол α, который лестница может образовать с горизонтом, не соскальзывая.
Решение.
На лестницу действуют сила тяжести mg, силы нормальных реакций <span>N1</span> и <span>N2</span> стены и земли, сила трения <span>Fmp</span> (рис.).
Лестница находится в равновесии, следовательно,
<span><span>mg + N1 + N2 + Fmp = 0</span>,</span>
поэтому суммы проекций всех сил на оси ОХ и OY равны нулю:
<span><span>N1 − Fmp = 0</span>,</span>
<span><span>N2 − mg = 0</span>,</span>
или
<span><span>N1 − μN2 = 0</span>, (1)</span>
<span><span>N2 − mg = 0</span>. (2)</span>
Пусть l − длина лестницы. На основании равенства нулю суммы моментов всех сил относительно оси, проходящей через точку В, составим уравнение:
<span><span>N1lsinα − mg(cosα)l/2 = 0</span>.</span>
Отсюда
<span><span>tgα = mg/(2N1)</span>. (3)</span>
Выразив из уравнения (2)
<span>N2 = mg</span>
и подставив это значение в уравнение (1), найдем
<span><span>N1 = μmg</span>.</span>
Подставив это выражение в формулу (3), получим:
<span>a = arctg(1/(2μ), α = 51°.</span>