Question

Нужно решить задачу по теории вероятности:
Автобус должен сделать 8 остановок. Найти вероятность того, что никакие два пассажира из пяти, едущих в автобусе, не выйдут на одной и той же остановке

Answer 1

Сколько есть варианто выйти 5 пассажирам на 8 остановках? Или сколько есть вариантов разместить 5 пассжиров по 8 остановкам?
Первый может выйти на любой из 8 остановок. Второй тоже может выйти на любой из 8 остновок. Точно также и третий, и четвёртый и пятый. Итого набирается $8^{5}$ вариантов. В теории вероятности это называется размещением с повторением, которое равно
$\overline{A}_n^k=n^k = 8^5$
Теперь считаем все варианты, когда никакие два пассжира из 5 не выйдут на одной остановке. Первый может выйти на любой из 8 остановок. Тогда второй может выходить только на оставшихся 7 остановках. Иначе, двое выйдут на одной. Третий уже сможет выйти на оставшихся 6 остановках, четвёртый - на 5 остановках, пятый - на 4 остановках. Тогда никакие двое не выйдут на одной из любых 8 остановках.
Получается 8×7×6×5×4 вариантов. В теории вероятности это соответствует размещению без повторения.
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = \frac{1*2*3*4*5*6*7*8!}{1*2*3!} = 4*5*6*7*8$
Далее, действуем по классической формуле вероятности: отношение благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P = \frac{A_n^k }{\overline{A}_n^k} = \frac{4*5*6*7*8}{8^5} = \frac{4*5*6*7*}{8^4} =\frac{5*3*7*}{8^3} = \frac{105}{512} = 0.205078125$

Ответ: ≈ 0,205