Question

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45

градусов. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Поскольку четырехугольная пирамида ПРАВИЛЬНАЯ, то в основании лежит квадрат. Диагональ квадрата ABCD равен $BD=AD\sqrt{2} =8\sqrt{2}$ см. Диагонали квадрата пересекаются в точке О и точка О делит диагонали пополам, то есть $BO=OD=\dfrac{BD}{2} =4\sqrt{2}$ см.

Из прямоугольного треугольника SOD: из определения косинуса найдем боковое ребро пирамиды:

$\cos \angle \mathrm{SDO}=\dfrac{\mathrm{OD}}{\mathrm{SD}} ~~\Rightarrow~~ \mathrm{SD}=\dfrac{\mathrm{OD}}{\cos45а} =\dfrac{4\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} =8$ см.

Высота SK равнобедренного треугольника SCD делит основание CD пополам, то есть: $\mathrm{KD=CK=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{8}{2}=4}$ см

Тогда из прямоугольного треугольника SKC:

$\mathrm{SK=\sqrt{SC^2-CK^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}}$ см. Тогда площадь грани SCD равна $\displaystyle \mathrm{S_{SCD}=\frac{CD\cdot SK}{2}=\frac{8\cdot 4\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}}$ см²

Площадь боковой поверхности - это сумма всех площади граней. То есть, зная что у правильной пирамиды все грани равны, то площадь бок. пов.

$\mathrm{S_{bok}=4\cdot S_{SCD}=4\cdot 16\sqrt{3}=64\sqrt{3}}$ см²

Ответ: 64√3 см².