Question

Пожалуйста решите задачу из темы: на нахождение наибольших и наименьших значений функций!
Требуется изготовить емкость для воды с крышкой, объем которой был бы равен 72 (м3), причем стороны основания относились как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон,
чтобы полная поверхность была наименьшей?

Answer 1

Пусть стороны a, b, c

a : b = 1 : 2

b = 2a

по условию:
a * 2a * c = 72

a²c = 36

Площадь полной поверхности:

2(a*2a + a*c + 2a * c) = 2(2a² + 3ac) = 4a² + 6ac - минимально

найдем условные экстремумы:

L = 4a² + 6ac + l*(a²c - 36)

{ l'(a) = 8a + 6c + 2ac*l = 0
{ l'(c) = 6a + a²*l = 0
{ a²c - 36 = 0

{c = 36/a²
{8a + 216/a² + 72l/a = 0 |*a²
{l = -6/a

{c = 36/a²
{l = -6/a
{8a³ + 216 - 432 = 0

{a³ = 27; a = 3
{c = 36/9 = 4
{l = -1,5

S = 4*9 + 6*12 = 108 - минимально

Ответ: 3 м  и 6 м - измерения основания, 4 м - высота