Замечание: равносторонний треугольник не может быть тупоугольным)))
видимо, опечатка во второй задаче...
Обе задачи очень похожи по логике решения: из двух формул для площади можно установить зависимость между сторонами треугольника или стороной и высотой треугольника и по теореме Пифагора найти нужный отрезок.
1) для любого описанного многоугольника (не только для треугольника) площадь можно вычислить через радиус вписанной окружности:
S = p * r (где p -это полу-периметр)
т.к. треугольник равнобедренный, основание разобьется на два равных отрезка (х) и отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны)))
получим четыре равных отрезка на сторонах треугольника и еще два равных отрезка обозначим (у), осталось записать т.Пифагора...
2) здесь потребуется другая формула для площади вписанного треугольника --через радиус описанной окружности:
S = a*b*c / (4R) и т.к. треугольник тупоугольный (по условию), следовательно, тупой угол треугольника опирается на дугу окружности, которая больше 180°
Пусть Р - точка касания вписанной окружности с боковой стороной АС, Е - точка касания с основанием. Тогда АР=5х, РС=8х. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки равны, то АЕ=5х. Используя теорему Пифагора для треугольника АСЕ, получим х=2, тогда АС=26, АВ=20, площадь треугольника АВС равна 240.
Окружности, касающиеся одной из сторон треугольника и продолжений двух других, называются вневписанными. Таких окружностей три (они изображены на прилагаемом рисунке).
Существуют формулы, выражающие радиусы вневписанных окружностей через стороны треугольника и его площадь, а именно: радиус `r_a` вневписанной окружности, касающейся стороны `a` и продолжений сторон `b` и `c`, равен `r_a=2S/(b+c-a) =S/(p-a)` (p- полупериметр)
Соответственно радиус `r_b` вневписанной окружности, касающейся стороны `b` и продолжений сторон `a` и `c`, равен `r_a=2S/(a+c-b) =S/(p-b)`, а радиус `r_c` вневписанной окружности, касающейся стороны `c` и продолжений сторон `a` и `b`, равен `r_a=2S/(a+b-c) =S/(p-c)`
Тогда радиусы вневписанных окружностей для данного треугольника равны
`R_1=R_2=480/(26+20-26)=24`
`R_3=480/(26+26-20)=15`
Ответ: 24,24,15
UPD
Приведу доказательство вышеупомянутой формулы для окружности, касающейся стороны Ас и продолжений сторон АВ и ВС. Пусть радиус этой окружности `R_1`
`S_(ABC)=S_(BAO_1)+S_(BCO_1)-S_(ACO_1)=(1/2)*(R_1*AB+R_1*BC-R_1*AC)`.
Откуда `R_1=(2S)/(AB+BC-AC)`, где `S` - площадь треугольника АВС
Сумму углов выпуклого многоугольника находят по формуле
1. Известно, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, т.е. АВ перпендикулярна ОВ. Рассмотрим получившийся треугольник ОАВ. Он прямоугольный, а значит можно применить теорему Пифагора.
а^2+b^2=c^2
Подставляем чиста в формулу
41^2=AB^2+OB^2
1681=AB^2+81
AB^2=1681-81=1600
AB=40
Ответ 40
