Question

Решить задачу, используя геометрическую вероятность.
На сторонах AB и AD квадрата ABCD выбраны точки M и N соответственно. Какова вероятность того, что площадь треугольника AMN больше суммы площадей треугольников MBC и CDN?

Answer 1

Пусть х = АМ - непрерывная независимая случайная величина
1>x>0
пусть у= АN - непрерывная независимая случайная величина
1>у>0
S amn = x*у/2 - (смотрим рисунок 1)
S mbc = (1-x)/2
S cdn = (1-y/2

х*у>(1-x)+(1-y) - по условию
выразим игрек
у>(2-x)/(x+1)=3/(x+1)-1 
кроме того помним что игрек и икс меньше единицы больше нуля

получили зависимость игрек от икс при которых выполняется условие задачи (рисунок 2)

искомая вероятность равна отношению заштрихованной части к площади единичного квадрата 

P=интеграл [ 0,5;1] (1 - (3/(x+1)-1)) dx = 
=интеграл [ 0,5;1] (2 - 3/(x+1)) dx = (2x -3ln(x+1))[0,5;1] = (2 -3*ln(2))-(1 -3*ln(1,5))=1-3*ln(4/3)~ 0,137

краткие пояснения на рисунке