Question

Как решить?

Answer 1

$8sin^4 2x +5cos4x = 3$

Применим формулу косинуса двойного угла:
$cos4x = 1 - 2sin^2 2x \\ \\ 5cos4x = 5 - 10sin^2 2x$

Тогда уравнение примет вид:
$8sin^4 2x + 5 - 10sin^2 2x = 3 \\ \\ 8sin^4 2x - 10sin^2 2x +2 = 0 \\ \\ 4sin^4 2x - 5sin^2 2x +1 = 0$

Сделаем замену:
$t = sin^2 2x \\ \\ 4t^2 -5t +1 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4*4*1 = 9 \\ \\ t_1 = \frac{5- \sqrt{9} }{2*4} = \frac{1}{4} \\ \\ t_2 = \frac{5+ \sqrt{9} }{2*4} = 1$

Обратная замена
$sin^2 2x = t_1 =1 \\ \\ sin^2 2x = t_2 = \frac{1}{4}$

После извлечения квадратного корня получаем 4 простых уравнения:
1)
$sin 2x = 1 \\ \\ 2x = \frac{ \pi }{2} + 2 \pi n \\ \\ x = \frac{ \pi }{4} + \pi n$, где n ∈ Z

2)
$sin 2x = -1 \\ \\ 2x = \frac{3 \pi }{2} + 2 \pi n \\ \\ x = \frac{ 3\pi }{4} + \pi n$, где n ∈ Z

3)
$sin 2x = \frac{1}{2} \\ \\ 2x = \frac{ \pi }{6} + 2 \pi n \\ \\ x = \frac{ \pi }{12} + \pi n \\ \\ 2x = \frac{ 5\pi }{6} + 2 \pi n \\ \\ x = \frac{ 5\pi }{12} + \pi n$, где n ∈ Z

4)
$sin 2x = -\frac{1}{2} \\ \\ 2x = -\frac{ \pi }{6} + 2 \pi n \\ \\ x = -\frac{ \pi }{12} + \pi n \\ \\ 2x = \frac{ 7\pi }{6} + 2 \pi n \\ \\ x = \frac{ 7\pi }{12} + \pi n$