Question

В выпуклом четырехугольнике abcd все стороны имеют разные длины. диагонали четырехугольника пересекаются в точке О, ОС=5 см, ОВ=6, ОА=15, ОD=18 см. Докажите, что четырехугольник трапеция

Answer 1

а) В треугольниках ВОС и АОD вертикальные углы при О равны.   ОВ:ОD=6:18=1/3; 

СО:ОС=5:15=1/3 ⇒ Сходственные стороны  ∆ ВОС и ∆ АОD пропорциональны. 

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие  треугольники подобны.

Из подобия треугольников следует равенство их накрестлежащих углов.  Из равенства накрестлежащих углов при пересечении прямых ВС и АD секущими АС и ВD следует параллельность сторон ВС и AD. 

Две стороны четырехугольника АВСD параллельны - это признак трапеции. Доказано. 

б) Отношение сторон ∆ ВОС и ∆ АОD равно 1/3, это их коэффициент подобия. 

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. 

S ∆ ВОС:S ∆ АОD=k²=1/9