Question

№1 Х-множество прямых плоскости.Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на этом множестве 1)"х параллельна у" 2)"х пересекает у" 3)"х перпендикулярна у"?
№2 объясните, почему отношение равенства отрезков является отношением эквивалентов ,а отношение "короче" не является
№3 на множестве Х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) задано отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 4 ". Сколько классов эквивалентности определит данное отношение ?Запишите эти классы ,назовите по одному представителю каждого класса

Answer 1

№1
1. x параллельна y - отношение эквивалентности:
а) x параллельна x (рефлексивность)
б) x параллельна y ⇒ y параллельна x (симметричность)
в) x параллельна y, y параллельна z ⇒ x параллельна z (транзитивность)

2. x пересекает y не является отношением эквивалентности, т.к. это отношение не транзитивно: если x параллельна z, а y пересекает обе прямые, то (a,y) и (y,z) находятся в отношении, а (x,z) - нет.

3. x перпендикулярна y не является отношением эквивалентности, т.к. это отношение не рефлексивно: прямая не является перпендикулярной сама себе.

№2
Отношение равенства есть отношение эквивалентности: оно рефлексивное (отрезок равен сам себе), симметричное (равные отрезки взаимозаменяемы) и транзитивное (a=b, b=c ⇒ a=c).
Отношение "короче" не является отношением эквивалентности, т.к. не выполняется следующие требуемые отношения:
- оно не рефлексивное (отрезок не может быть короче себя самого)
- оно не симметричное (если один отрезок короче другого, то из этого не следует, что второй отрезок короче первого)

На самом деле, отношение "короче" является отношением строгого порядка.

№3
Всего существует 4 различных остатка при делении на 4: 0, 1, 2 и 3.
Т.к. мн-во X содержит 10 последовательных чисел, то все эти классы эквивалентности будут представлены.
Представители классов - например, первые 4 числа множества (они дают остатки 1, 2, 3 и 0 соответственно).