Что касается пословиц, то продолжением "курица не птица" было "баба не человек". Однако за последние десятки лет мировоззрение было пересмотрено и большинство баб стали женщинами, которые с известными допущениями, можно считать людьми :)
Примерно такие же допущения можно сделать и в отношении куриц. Летают плохо, но крылья и перья есть, значит птицы. У киви, вообще, крыльев нет, но птицей все равно считается.
Что же касается того, что "кур доят" - то это естественная реакция на откровенную чушь, в качестве сравнения. Например, говорят вам, что все чиновники - воры, а вы отвечаете, что кур доят. И сразу становится понятно, к какому типу событий вы относите оба высказывания.
Так что даже если курица не птица, еще не значит, что её удастся подоить :)
Например, крокодилов еще никто, по-моему, доить не пробовал :)