f(x)=1-3x^2-x^3 и постройте ее график
Дана функция
Полное исследование функций по схеме:
1. Область определения функции - ограничений нет, x ∈ Z.
2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты.
Разрывов функции и асимптот нет.
3. Точки пересечения функции с осями координат.
С осью Оу при х =0,у = 1.
С осью Ох надо решить кубическое уравнение 1 - 3х² - х³ = 0.
Для вычисления корней кубического уравнения используется тригонометрическая формула Виета, которая работает для уравнений вида: x³ + ax² + bx + c = 0. В нашем случае a = 3, b = 0 и c = −1.
Используются специальные формулы, подставив в которые наши числа, получим:
x1 = −2.8794; x2 = 0.5321; x3 = −0.6527.
4. Четность, нечетность - функция общего вида.
5. Периодичность - нет.
6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.
Производная равна y' = -6x - 3x² = -3x(2 + x) = 0.
Отсюда имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -2.
Находим знаки производной на полученных промежутках:
x = -3 -2 -1 0 1
y' = -9 0 3 0 -9
.
В точке х = -2 минимум (переход с - на +), у = -3.
В точке х = 0 максимум (переход с + на -), у= 1.
Функция возрастает на промежутке (-2;0).
Убывает на промежутках (-∞; -2) ∪ (0; +∞).
7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная равна y'' = -6 - 6x = -6(1 + x) = 0.
Перегиб в точке х = -1, у = -1.
8. Наклонные асимптоты - нет.
9. Построение графика по точкам:
x y
-3.5 7.13
-3.0 1
-2.5 -2.12
-2.0 -3
-1.5 -2.37
-1.0 -1
-0.5 0.38
0 1
0.5 0.13
1.0 -3
1.5 -9.12
2.0 -19
2.5 -33.37
