Question

На каждой стороне и каждой диагонали 20-угольника находится по лампочке, а в каждой вершине — по выключателю. Каждый выключатель контролирует лампочки, находящиеся на сторонах и диагоналях, выходящих из этой вершины: при переключении выключателя все горящие лампочки, которые он контролирует, гаснут, а все погасшие — включаются. Переключать два выключателя одновременно нельзя. Сейчас все лампочки не горят. Какое наибольшее количество лампочек можно сделать одновременно горящими, пользуясь выключателями?

Answer 1

Пусть нам удалось включить наибольшее возможное количество лампочек. Рассмотрим конфигурацию лампочек и выключателей, которая получилась в результате переключений. Разобьем все выключатели на группы A и B. В первой группе находятся выключатели, которые переключали нечетное число раз, во второй находятся переключатели, переключенные четное число раз (или вообще не переключавшиеся). Рассмотрим произвольную лампочку x между двумя выключателями из A. Суммарно выключатели, смежные с этой лампочкой, переключались четное число раз (сумма двух нечетных чисел), поэтому в итоге лампочка окажется выключенной. Аналогично, рассмотрим произвольную лампочку y между двумя выключателями из B. Два смежных с ней выключателя также переключались четное число раз, поэтому лампочка в итоге тоже останется выключенной. Теперь рассмотрим произвольную лампочку z между двумя выключателями из разных групп. Поскольку суммарно смежные с ней выключатели переключателись нечетное число раз, эта лампочка будет гореть. Таким образом, гореть будут те и только те лампочки, которые находятся между переключателями из разных групп.

Пусть в группе A находится 10-k выключателей, а в группе B 10+k. Тогда существует (10-k)(10+k) лампочек, на концах которых находятся выключатели из разных групп. Таким образом, достаточно найти наибольшее возможное значение выражения (10-k)(10+k) при условии 0≤k≤10. Очевидно, (10-k)(10+k)=100-k²≤100. Таким образом, одновременно могут гореть не более 100 лампочек.

Примечание: логичнее рассмотреть группы из k и 20-k лампочек, но тогда для нахождения максимального значения нужно брать производную, что выходит за рамки 9 класса.